浅谈函数的对称美

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1、浅谈函数的对称美浅谈函数的对称美众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对它的欣赏。下面从对称角度来欣赏数学美。一、函数自身的对称性定理 1.函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2ax) = 2b证明：设点 P(x ,y)是 y = f (x)图像上任一点，点P( x ,y)关于点 A (a ,b)的对称点 P也在 y = f (x)图像上， 2by = f (2ax)即 y + f (2ax)=2b 故 f (x) +

2、 f (2ax) = 2b，必要性得证。设点 P(x0,y0)是 y = f (x)图像上任一点，则 y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x0) + f (2ax0) =2b，即 2by0 = f (2ax0)。故点 P也在 y = f (x) 图像上，而点 P 与点 P关于点 A (a ,b)对称，充分性得征。推论：函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,0)对称的充要条件是f (x) + f (2ax) =0推论：函数 y = f (x)的图像关于原点 A (0,0)对称的充要条件是 f (x) + f (x) = 0定理 2. 函数 y = f

3、(x)的图像关于直线 x = (a+b)/2的充要条件是f (a +x) = f (bx)推论：函数 y = f (x)的图像关于 x=a 轴对称的充要条件是 f (a+x) = f (ax)推论：函数 y = f (x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f (x) = f (x)定理 3. 若函数 y = f (x) 图像同时关于点 A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称，则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab|是其一个周期。若函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 ，则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab|是其一

4、个周期。若函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称又关于直线 x =b 成轴对称，则 y = f (x)是周期函数，且 4| ab|是其一个周期。二、不同函数对称性定理 4. 函数 y = f (x)与 y = 2bf (2ax)的图像关于点 A (a ,b)成中心对称。定理 5. 函数 y = f (x)与 y = f (2ax)的图像关于直线 x = a 成轴对称。函数 y = f (x)与 ax = f (ay)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。函数 y = f (x)与 xa = f (y + a)的图像关于直线 xy = a 成轴对称。推论：函数 y

5、 = f (x)的图像与 x = f (y)的图像关于直线 x = y 成轴对称。如果在做题时，只是对题型，套公式，而不去领会问题的实质，很容易将上面两个问题混淆。综上所述，在求解函数对称性问题时，要精细地检查思维过程，提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。数学之美，还可以从更多的角度去审视，而每一侧面的美都不是孤立的，她们是相辅相成、密不可分的。她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值和她丰富、深隧的内涵和思想，及其对人类思维的深刻影响。如果在学习过程中，我们能与数学家们一起探索、发现，从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和创造美。