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1、弯曲与扭转的组合,例4 图示传动轴， 轮皮带张力沿铅垂方向，轮皮带张力沿水平方向，、两轮直径为mm。轴的80 MPa。试按第三强度理论确定轴径 d。,画出轴的计算简图，并根据此图画出轴的弯矩图和扭矩图。 从图中可以看出，B和D截面可能是危险截面。因为,解,所以，B截面为危险截面,例4 (续）,解,B截面为危险截面,即轴的直径可取为64 mm。,例9 正方形截面的开口圆环，尺寸如图，在开口处作用一对垂直圆环平面的力，若MPa。试按第三强度理论求许可载荷。,解：1）危险截面可能发生在截面A或B,截面A：,截面B：,由第三强度理论，比较A和B截面,所以，A截面更危险。,例9 正方形截面的开口圆环，尺
2、寸如图，在开口处作用一对垂直圆环平面的力，若MPa。试按第三强度理论求许可载荷。,解：,A截面更危险:,由第三强度理论，,7.3 非对称弯曲 弯曲正应力的普遍公式,一、平面弯曲 对称弯曲和非对称弯曲,梁的弯曲平面（即弯曲前与弯曲后梁轴线所确定的平面）与载 荷平面（即梁上载荷所在平面）重合（或平行）的这种弯曲， 称为平面弯曲。,对称弯曲: 当梁具有纵向对称面,并且载荷作用在纵向对称面内 时,梁发生平面弯曲. 对称弯曲是平面弯曲的特例.非对称弯曲, 当梁不具有纵向对称面,或者梁虽然有纵向对称面, 但载荷作用平面和纵向对称面有一夹角时,梁发生非对称弯曲.,非对称弯曲斜弯曲,一、特点外力：作用线不与形
3、心主惯性轴重合；内力: 弯矩矢量不与形心主 惯性轴重合（可分解成两个 形心主惯性轴方向的弯矩）；变形：挠曲线不与荷载线共面。,实质： 平面弯曲 + 平面弯曲,例：分析图示非对称弯曲变形,二、正应力强度条件,+,+,=,1. 分解：平面弯曲（绕y轴）+平面弯曲（绕z轴） 2. 分别计算： （1）作弯矩图，危险截面为A,Mymax=Plcos, Mzmax=Plsin （2）正应力分析：My作用，沿z轴线性分布，Mz作用，沿y轴线性分布.危险点：D1 ,D2,4. 强度条件： 危险点处于单向应力状态,无棱角截面如何 建立强度条件？,三、中性轴,任意一点K（y,z）的正应力My=P x cos =
4、M cos , Mz=P x sin=M sin,当IyIz , 中性轴与荷载线不垂直。,2. 中性轴方程,过截面形心的直线；,斜率,作中性轴的平行线，与边界相切，切点便是危险点。强度条件为,D1（y1 , z1）,另一条类似。,弯曲强度,自由端：,挠度的方向,方向：,例5 No. 25a普通热轧工字钢制成的立柱受力如图所示。试求图示横截面上a、b、c、d四点处的正应力。,几何性质,内力：,应力：,例6 杆件受力如图，GPa，求杆内最大正应力、最大切应力和最大挠度。,解：1)属斜弯曲问题。危险截面在固定端。,2)最大正应力 在固定端角点上,例6 杆件受力如图，GPa，求杆内最大正应力、最大切应
5、力和最大挠度。,3)最大切应力：在固定端截面形心,4)最大挠度发生在自由端,组合变形基本方法叠加法:分解分别计算叠加,要求熟练掌握的内容：（1）绘制各种简单变形内力图；（2）简单变形时杆件横截面的应力分布规律；（3）应力状态理论；（4）强度理论。,对称弯曲:,由纯弯曲得到, 对于细长梁, 近似适用于横力弯曲。,对于非对称弯曲, 上述公式一般不再适用!,7.3 非对称弯曲 弯曲正应力的普遍公式,二、非对称弯曲正应力公式的推导,n,y,z,y,z,O,dA,任意形状截面梁,设坐标轴 Y,Z过截面形心, 弯矩在两 个坐标轴上的分量分别为My和Mz。 求梁横截面上的应力分布。,推导的出发点:非对称纯弯
6、曲 (梁上只作用有弯矩) 平截面假设依然成立(对于非对称纯弯曲,这点已经被实验证明) 。 单向应力假设(同上) 。,n,y,z,y,z,O,dA,由平截面假设和单向应力假设, 梁的横截面 上存在中性轴,设中性轴为,距离中性轴 的点的正应力为:,根据静力平衡方程:,对于非对称纯弯曲, 中性轴仍然通过截面的 形心。假设中性轴与y轴间的夹角为 , 则有:,联立求解得:,代入平衡方程,(1)梁具有纵向对称面,且外力作用在该对称平面内,(2) 梁不具有纵向对称面, 但外力作用面与形心主惯性平面重合或者平行,假设Y,Z轴为横截面的形心主惯性轴 , 并且:,则有:,只要外力作用在(或者平行于)梁的形心主惯性
7、平面, 那么 梁的 挠曲线也是外力作用平面内(或者平行)的平面曲线. 如果取形 心主惯性轴为坐标,那么对称弯曲正应力求解公式仍然适用.,(3) 梁具有纵向对称面, 但外力的作用平面与纵向对称平面间有一个夹角,当:,挠曲线在外力作用平面平面弯曲,如图简支梁跨长为4m, 由NO32a工字钢制成. F=33kN.其作用线 与铅垂对称轴的夹角为15度,且通过形心, 钢的 ,试 校核梁的正应力强度.,解: 建立如图形心主惯性轴, 作梁的弯矩图.,由:,有:,F,则横截面上的最大正应力为:,弯矩沿两个形心主惯性轴分解有:,又查表有:,梁上最大正应力:,如果力的作用线与Y轴重合, 也就是 , 则有:,可见,
8、 力的作用线偏转一个很小的角度,梁横截面上的正应力就 相差很多,主要是因为梁两个方向上的抗弯模量相差很大。, 薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心,第七章 组合变形杆的强度, 薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心,第七章 组合变形杆的强度, 薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心,第七章 组合变形杆的强度, 薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心,第七章 组合变形杆的强度, 薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心,第七章 组合变形杆的强度, 薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心,第七章 组合变形杆的强度, 薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心,第七章 组合变形杆的强度,薄壁杆件弯曲时的特有现象, 薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心,一般情形下梁受横向力作用而弯曲时，不仅会产生
9、弯曲变形，而且还会发生扭转。,当外力的作用线通过某一特定点时，梁将只产生弯曲，而不发生扭转。这一特定点，称为弯曲中心（或剪切中心，剪心）。,弯曲时为什么会发生扭转？,弯曲中心的位置怎样确定？,第七章 组合变形杆的强度,7.4 开口薄壁梁的切应力 剪切中心,尽管外力作用在形心上， 截面弯曲同时 产生扭转,7.4 开口薄壁梁的切应力 剪切中心,F*N,F*N+dF*,现在分析一下槽型薄壁截面梁为什么会发生这种现象,如图一个由槽钢悬臂梁受横力弯曲, 横截面上剪应力分布可由下 面三点得到,(1)纯弯曲正应力公式适用 (2)切应力沿厚度方向均匀分布。 (3)切应力互等定理,7.4 开口薄壁梁的切应力 剪
10、切中心,弯曲切应力求解的一般公式:,为局部截面对中性轴的静矩,槽钢尺寸如图(A)所示, 要求翼缘和腹板上的切应力,分别截取 如图(B) 和(C)的局部截面。,7.4 开口薄壁梁的切应力 剪切中心,腹板上距中性轴为Y以上的横截面的静矩为:,所以腹板上的切应力分布对Y的函数为:,翼缘上距端部分为s的横截面的静矩为:,相应的切应力分布对s的函数为:,7.4 开口薄壁梁的切应力 剪切中心,槽钢横截面上的切应力分布如图 (D)所示, 如果分别求翼缘和 腹板上的剪切力的等效力,可得到FT和FS。如图(E)所示。,由于上下翼缘的剪切力大小相等，方向相反，所以可等效为一 力偶M，,此力偶可以把腹板上的剪切力沿
11、背离形心的方向移动e,7.4 开口薄壁梁的切应力 剪切中心,当外力不过剪切中心时，外力和槽钢横截面上的切向力将形成 一个扭矩。相应的梁发生扭转变形。,有关薄壁杆件弯曲中心详细的分析和推导请见教材例题7.8,7.4 复合梁的强度,一、复合梁,由两种或者两种以上的材料构成的梁, 称为复合梁(组合梁)。,7.4 复合梁的强度,二、复合梁的基本方程,如图(a)所示复合梁, 材料1与材料2的弹性模量分别为E1与E2, 相应的横截面积分别为A1与A2。梁在纵向对称面内承受纯弯曲, 横截面上的弯矩为M。,当复合梁各部分连接紧密，在弯曲变形 过程中无相对错动时，复合梁为一 整体梁。,平截面假设和单向应力假设仍
12、然成立!,在梁发生弯曲变形时, 梁横截面上各点绕中性轴 发生一个微小转动。,7.4 复合梁的强度,对于由单一材料组成的梁, 梁弯曲时的中性轴过横截面的形心。,对于复合梁，由于材料性质不均匀,弯曲时候的中性轴不再通 过横截面的形心。,如图,假设y轴沿梁横截面的纵向对称轴, z轴是复合梁的中性轴。,根据平截面假设，横截面上 距离中性轴y处的纵向正应变 沿截面高度线性变化。,表示中性层的曲率,7.4 复合梁的强度,当材料处于线弹性范围时, 由单向应力状态的胡克定律, 截面1和 截面2上的弯曲正应力分别为:,由于两种材料的弹性模量不同, 所以尽管线应变沿高度线性变化, 正应力在两截面交界处发生突变。变
13、化斜率也不同！,7.4 复合梁的强度,中性轴的位置，由轴力为零确定：,中性层的曲率由弯矩平衡得到:,又:,有:,确定中性轴的位置,7.4 复合梁的强度,则截面1和截面2上的弯曲正应力分别为:,三、转换截面法,由前面的推导有:,将上面两式变形:,令,称为模量比,7.4 复合梁的强度,可见,如果把截面1上各点的y坐标保持不变,把截面1的宽度乘以n, 那么我们就可以把复合梁等效为弹性模量为E2的均质梁。,7.4 复合梁的强度,解： 等效截面法,截面1保持不变，,作等效截面，将截面2宽度乘以2.5,求等效截面的形心，对z轴求静矩， 得到：,7.4 复合梁的强度,等效截面对中性轴的惯性矩：,上下表面的最大拉压应力：,6-20,对18a号工字刚，查表可知其尺寸和几何性质,No18a,故,载荷变化15kN时，A点截面处的剪力和变矩的变化量分别为,A点应力状态为,A,其中,A点处,故由广义虎克定律,
