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1、用心 爱心 专心- 1 -数学解题中的几种常见错误数学解题中的几种常见错误在学习过程中，每个学生都会或多或少地犯一些错误，有的学生会认真地总结经验教训， 确保以后不再犯同样的错误，有的学生则不善于总结，以至于一错再错，最终导致考场失利， 每次月考结束后，总会有许多遗憾，某个选择题不该错，某个计算题粗心把结果算错，某道 题忽略了一个已知条件，如此种种，举不胜举，为帮助同学们纠正常犯的解题错误，本文详 细分析这些常见错误，并有针对性的给出纠正的办法： 1、粗心之错 这里所说的“粗心” ，指的是一些莫名其妙，会而不对的错误，如计算 60-15=55 等等。例 1，已知),()21 (6 62 210
2、6Rxxaxaxaax则|1a|2a|6a|的值为： 错解：因|1a|，|2a|,|6a|都是正值，故只需令1x，即可得和为72936。错因：粗心把0a忘掉减去。正解：令1x可得，|1a|2a|+|6a|=728136例 2，若函数) 12(xfy是偶函数，则函数) 12(xfy的图像的对称轴是 。A、1xB、0xC、21xD、C、21x错解：可用特殊函数法，设2) 1()(xxfy,则24) 12(xxfy是偶函数，2) 12(4) 12(xxfy。 ) 12(xfy的对称轴为21x,选 D。错因：也是粗心所致，你怎么能把12 x代入24x中呢？正解：抽象函数问题可采用特殊函数法：设：2)
3、1()(xxfy,则24) 12(xxfy是偶函数。 22) 1(4)12(12(xxxfy对称轴为1x,选 A。纠错方法：要纠正粗心的错误，唯有培养认真的习惯。 2、理解错误 理解错误主要指学生对概念的理解不全面，甚至错误，如对定义域为R与值域为R的理用心 爱心 专心- 2 -解混淆，造成张冠李戴的错误，对函数的定义域与函数有意义的理解模糊，造成合而为一的 错误的现象等。例 3，已知函数)(log2 2aaxxy的值域为R，则实数a的取值范围为： 。错解：令aaxxxf2)(，则0)(),(log2xfxy 恒成立，所以应有042aa ， 解得04 a。即a的取值范围为（4，0） 。错因分析
4、：以上错解的错误原因在于没有准确地理解函数)(log2 2aaxxy的值域为R的意义。根据对数函数的图像和性质可知，当且仅当aaxxxf2)(的值能取遍一切正实数时，函数)(log2 2aaxxy的值域才是R，而当0时，由图可知，0)(xf恒成立，这只能说明函数)(log2 2aaxxy的定义域为R，而不能保证)(xf可以取遍一切正数，要使)(xf可以取遍一切正数，结合二次函数的图象可知，)(xf的图象应与x轴有交点才能满足。正解：要使aaxxxf2)(的值能取遍一切正实数，应有042aa。解得0a或4a，即a的取值范围为 , 04,。例 4，首项是251，从第 10 项起开始比 1 大的等差
5、数列的公差 d 的取值范围是 。A、758d B、253d C、253 758 dD、252 758d错解 1：由110a,得19251d,解得758d,故选 A。错解 2：由110a，且19a，得253 758 d，故选 C。错因分析：错解 1 只考虑到了110a这个条件，没有注意到题中“开始比 1 大”这段关键语句，错解 2 虽然注意到了这关键的语句，但却忽视了19a这种情况，因此都得出了错yx)(xfy o用心 爱心 专心- 3 -误的答案。正确解：由题意得： 11109 aa，即 1925118251dd，解得253 758d,选 D。纠错方法：对于同学们出现的理解错误，最好的方法是回
6、归课本，从教材中去重新理解 概念。 3、忽略之错 这种错误主要表现在解题中忽略隐含条件，忽视特殊情况而导致的错误。例 5，已知)(xf 1,log1,4) 13( xxxaxxa，是)(上的，减函数，那么a的取值范围是 。错解：由已知可得 10013(aa，解得310 a，即a的取值范围为)31, 0(a。错因：忽略题中的隐含条件，1x时函数的最小值应比1x时的函数最大值还大。 正解：由题意可知：041310013(aaaa解之得：31 253a。这类问题要特别注意隐含条件。例 6，若1cossinxx，则对任意实数n，xxnncossin的取值范围为 。A、1B、区间（0,1） C、 121
7、nD、不能确定错解：D 因1cossinxx，所以xsin可以取无穷多个值，所以xnncossin 的值不能确定。错因：该解答过程忽略了一个隐含条件1cossin22xx从而导致了错误的选 D。正解：设点 P（xx cos,sin） ，则点 P 满足：1122yxyx解得： 10 yx或 01 yx即 1cos0sinxx或 0cos1sin xx所以1cossinxxnn故选 A。用心 爱心 专心- 4 -例 7，若向量)2 ,3(),2 ,(xbxxa,且ba,的夹角为钝角，则x的取值范围是： 。错解：因ba,的夹角为钝角，于是可以得到0ba，所以0432xxba，故0x或43x。错因：忽
8、视了0ba，不是ba,夹角为钝角的充要条件，因为ba,的夹角为 180时也有0ba ，从而扩大了x的范围，导致错误。正解：因ba,的夹角是钝角，故0432xxba，解得0x或34x又由ba,共线且反向可得31x由、可得x的范围是),34()0 ,31()31,(。例 8 已知曲线1:2 axyC及 A（0，0） ，B（2，3） ，若曲线 C 与线段 AB 只有一个公共点，求实数a的取值范围： 错解：直线 AB 的方程为：xax232，由1232axyxy得01232xax曲线 C 与线段有且只有一个公共点：1690449aa，由此得符合条件的a的值为169。错因：上述解法错误的原因在于忽略了直
9、线与线段这两个概念的区别，线段 AB 的方程为：)20(23xxy，而不是xy23，曲线 C 与线段 AB 只有一个公共点等价于方程01232xax在0，2 内只有一个根。正解：线段 AB 所在直线的方程为：)20(23xxy由 1)20(232axyxxy得)20(01232xxax要使两曲线只有一个公共点，只需方程在20 x之间只有一个根。当0a时，23x不符合题意，舍去。用心 爱心 专心- 5 -当0a时，123)(2xaxxf要使方程在0，2内只有一个根，因为01)0(f，所以只需0)2(f即可，由此得0134a即1a。因此，符合条件的a的取值范围为1。 纠错方法：要纠正忽略之错，可认
10、真审题，仔细分析题意。 4、思维定式错误 所谓思维定式就是人们通过训练，形成的思维习惯，如错误地将等式的性质类比到不等 式中，造成习惯性的错解现象，如对分式不等式，习惯上不考虑分母的符号，直接将分式不 等式化为整式不等式。例 9，不等式11x的解集为： 错解：11xx1，即1x。 x的的范围为（1 ,） 。错因：受解分式方程的影响，去分母而导致错误。正解：不等式11x的解集为) 1 , 0(。纠错方法：克服思维定式，必须要从基础知识抓起，区分易混淆的式子。 5、重复或遗漏之错 这类错误通常发生在排列、组合、概率问题之中，因考虑不周，导致重复或遗漏。 例 10，从 5 双不同的鞋子中任取 4 只
11、，4 只鞋子中至少有 2 只鞋子配成一双的取法有 种。错解：从 5 双鞋子中任取一双有1 5C种取法，第二步，从余下的 8 只中任取两只有2 8C种取法，由分步计数原理可知，一共有1 5C2 8C =140 种符合条件的取法。错因：第一步的1 5C种取法中，若取到21,aa这一双鞋，第二步的2 8C种取法中，取到21,bb另一双鞋；这种取法与第一步的1 5C种取法中取21,bb，第二步2 8C种取法到21,aa实际上是同一种取法，在上述解法中视为了不同的取法，因此产生了重复现象。 正解：至少有 2 只成双有两种可能。恰有一双：120212 41 5CCC种恰成二双：102 5C种，共有 130
12、 种取法。纠错方法：避免重复或遗漏现象的方法就是分类或分步中一定要细心，认真领会排列组 合的原理。 6、以偏概全之错 这类错误常发生在数列、圆锥曲线等问题中。例 11，设数列的前n项和为*)(422NnnnSn，则这个数列的通项公式为： 用心 爱心 专心- 6 -。错解：因为1nnnSSa，所以*)( 12Nnnan。错因：此题错在没有分析1n的情况，以偏概全，误认为任何情况下都有*)(1NnSSannn。正解：1n时，2, 711nsa时，121nSSannn。 )2( , 121, 7nnnan纠错方法：要克服这类错误，主要解决好特殊与一般的关系，有无前提条件等。 错误并不可怕，可怕的是忽视错误，也许你的错误还不止以上所说的六种，但没关系， 只要我们认真吸取自己或他人的教训，一定能开辟出自己的成功之路。
