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1、2018 年浙江专升本高数考试真题答案年浙江专升本高数考试真题答案1、选择题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。1、设，则在内（ C ） 00 ,sin )(xxxxx xf)(xf) 1 , 1(A、有可去间断点B、连续点C、有跳跃间断点D、有第二间断点解析：1sinlim)(lim, 0lim)(lim 0000 xxxfxxf xxxx，但是又存在，是跳跃间断点)(lim)(lim 00xfxf xx0x2、当时，是的（ D ）无穷小0xxxxcossin2xA、低阶B、等阶C、同阶D、高阶解析：高阶无穷小02sinlim2sincoscoslimcossinlim 00
2、20x xxxxx xxxxxxx3、设二阶可导，在处，则在处（ )(xf0xx 0)(0 xf0)(lim00xxxfxx)(xf0xx B ）A、取得极小值B、取得极大值C、不是极值D、是拐点)(0, 0xfx解析：，则其，00 0 0)()(lim)(, 0)(lim00xxxfxfxfxxxfxxxx0)(, 0)(00xfxf为驻点，又是极大值点。0x000)(xxxf 4、已知在上连续，则下列说法不正确的是（ B ）)(xfba,A、已知，则在上，badxxf0)(2ba,0)(xfB、，其中xxxfxfdttfdxd2)()2()(baxx,2 ,C、，则内有使得0)()(bfa
3、fba,0)(fD、在上有最大值和最小值，则)(xfy ba,MmbaabMdxxfabm)()()(解析：A.由定积分几何意义可知，为在上与轴围成0)(2xfdxxfba)(2)(2xfba,x的面积，该面积为 0，事实上若满足0)(2xf)(xf)(0)(0)(bxaxfdxxfba 非负连续B.)()2(2)(2xfxfdxxfdxdxxC. 有零点定理知结论正确D. 由积分估值定理可知，bax,Mxfm)(则)()()()(abMdxxfabmMdxdxxfmdxbabababa5、下列级数绝对收敛的是（ C ）A、 B、 C、 D、111) 1(nnn11) 1ln() 1(nnn1
4、39cosnnn11nn解析：A.，由发散发散1111limnnn11nn11 nB.，由发散发散011lim)1ln(lim)1ln(11limnnnnnnnn11nn1)1ln(1nnC.，而=1，由收敛收敛 919cos22 nnn232191limnnn1231nn 912n收敛 9cos2nnD.发散11nn2、填空题6、axxexa 10)sin1 (lim解析：axaxa xxaxaxxxxeeeexaxx1cossin11lim)sin1ln(lim)sin1ln(101000lim)sin1 (lim7、，则3sin)23()3(lim 0xxffx23)3( f解析：3)3
5、(22)3()23(lim2sin)23()3(lim 00fxfxf xxffxx8、若常数使得，则ba,5)(cossinlim20bxaexxx9b解析：5)(coslim)(cossinlim2020aebxxbxaexxxxx所以根据洛必达法则可知：1, 01aa21 2coslim2)(coslim 00bbx xbxxxx9, 521bb9、设，则 ttytx arctan)1ln(11tdxdy解析：，2221)1 (11111tttttdtdxdtdydxdy 11tdxdy10、是所确定的隐函数，则)(xfy 0122 yx32222yxy dxyd解析：方程两边同时求导，
6、得：，022yyxyxy 方程同时求导，得：，将带入，022yyx0)(12 yyyyxy 则得，0)(12 yyyx32232221 yxy yx yydxyd 11、求的单增区间是21xxy) 1 , 1(解析：2222222)1 (1 )1 (21 xx xxxy令，则，0 y12x11x12、求已知，则 Cedxxfx2)()(1lim10nkfnnkn1e解析：1)()()()(1lim1 01010102eCedxxfdxxfnkfnxnkn13、dxxxe2)(ln11解析：1ln1ln)(ln1 )(ln122eeexxdxdxxx14、由：围成的图形面积为 2xy 2, 1x
7、y34解析：34)31() 1(2 12132xxdxxA15、常系数齐次线性微分方程的通解为（为任意常02 yyyxexCCy)(2121CC数）解析：特征方程：，特征根：0122 rr121 rr通解为（为任意常数）xexCCy)(2121CC三、计算题 （本大题共 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共 60 分）16、求)sin1ln(lim 0xeexxx解析：22limsin2lim)sin1ln(1lim)sin1ln(lim 00200xx xx xeexeexxx xxxxx17、设，求在处的微分xxxy)sin1 ()()(xyx
8、解析： xxxy)sin1 ()()sin1ln(lnxxyxxxxysin1cos)sin1ln(y1 dxxxxxxx)sin1(sin1cos)sin1ln(dy将代入上式，得微分xdxdy18、求502cos1dxx解析：502cos1dxx50|sin|dxx43542320sin)sinsin)sinsinxdxdxxxdxdxxxdx（10|cos|cos|cos|cos|cos5 44 33 22 0 xxxxx19、求dxxarctan解析：，2txtx ，则令tdtdx22tanarctdttdttttanarctanarc22dttttt222 11tanarcdtttt
9、t22 2 111tanarcdtttt）（22 111tanarcctttttanarctanarc2cxxxxtanarctanarc则则则20、dxxxx xx11 -41cos 45）（解析：为奇函数，41cos xxx 该式不代入计算45452txxt，则令tdtdx21dtttt)21(1 45132 该式312)581dtt（61| )315813 13tt（21、已知在处可导，求 0),1ln(0,2)(xaxxbxxf0xba,解析：0)(lim, 0)(lim)0()(lim)(lim0)(0)(0000bbxfxffxfxfxxfxxfxxxx 处连续在处可导在)(lim
10、)(lim 00xfxf xx axaxxf xx 00)1ln(lim)(lim 002002lim)(lim 00 xxxf xx 2a22、求过点且平行于又与直线相交的直线方程。) 1 , 2 , 1(A0732zyx tztytx231直线过点，因为直线平行于平面，所以，) 1 , 2 , 1(AnS) 1 , 3, 2( n设两条直线的交点，所以，)2 , 3, 1(tttP) 12 , 1,( tttPAS所以，所以，012332ttt4t)8 , 7 , 3(P)7 , 5 , 4( PA所以直线方程为。71 52 41zyx23、讨论极值和拐点13231)(23xxxxf解析：
11、13231)(23xxxxf（1）的极值)(xf34)( 2xxxf令，则0)( xf3, 121xx列表如下：x），（11），（ 313 ），（3所以极大值为，极小值3713231) 1 (f1)3(f（2）的拐点)(xf令 则42)( xxf0)( xf2x列表如下：拐点为。 35, 24、综合题（本大题共 3 大题，每小题 10 分，共 30 分）24、利用，nnnx x0) 1(11（1）将函数展开成的幂级数)1ln(xx（2）将函数展开成的幂级数)3ln(x2x解析：（1）令，当时，)1ln()(xxfxxf11)() 1 , 1(xnnnx x0) 1(111) 1() 1(11)
12、0()()(100000 nxdttdttfdttfxfnnnnxnnxx当时，级数发散；当时，级数收敛，故收敛域为。1x1x1 , 1（2）)521ln(5ln)521 (5ln)2(5ln)3ln(xxxx 01)52(11) 1(5lnnnnx n011) 1(5)2() 1(5lnnnn n nx)( xf+0-0+)(xf极大值极小值x），（22），（2)( xf-0+)(xf凸拐点凹其中，。731521xx25、在上导函数连续，已知曲线与直线及)(xf，10)(xf)(xf) 1(, 1ttxx=1（）及轴所围成的去边梯形绕轴所围成的旋转体体积是该曲边梯形的倍，x1txxt求)(x
13、f解析：，tdxxfS 1)(dxxfVt)( 12由题意知，求导得，得ttdxxftdxxf 112)()()()()( 12ttfdxxftft再求导，得)()()()()(2tf ttftftftf即，则，)()(2)()(2tftftf ttfyyy ty22ytyy)2(2dydt yty 22，,121tydydt yyP21)(1)(yQ)32(1)(231 211 21 CyyCdyeetdyydyy由，带入得，故曲线方程为。1) 1 () 1 () 1 (2fff31Cyyx12326、在连续且和的直线与曲线交于，)(xfba,）（)(,afa）（)(,bfb)(,bxacfc（证明：（1）存在)()(21ff（2）在存在),(ba0)( f解析： 解法一：（1）过的直线方程可设为：)(,(),(,(bfbafa)()()()(cxabafbfcfy所以可构造函数：xxfxF)()(所以)()()(cFbFaF又因为在连续可导的，则在连续可导，)(xfca,bc,)(xFbcca,所以根据罗
