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1、,22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,4、求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为 2和3;-4和7;3和-8;-5和-2,x2-5x+6=0,x2-3x-28=0,(x-3)(x+8)=0,x2+5x-24=0,(x+5)(x+2)=0,(x+4)(x-7)=0,(x-2)(x-3)=0,x2+7x+10=0,问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？,新课讲解,如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有x1+ x2=-p, x1 x2=q,猜
2、想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？,问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？,所以得到,x1+x2=,x1 x2=,填写下表：,猜想：,如果一元二次方程 的两个根 分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 。,求证：,推导:,如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么：,这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。,一元二次方程的 根与系数的关系,16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个
3、业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。,1.,3.,2.,4.,5.,口答下列方程的两根之和与两根之积。,练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？,返回,的值。,解：,根据根与系数的关系:,例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）平方和；（2）倒数和,解：设方程的两个根是x1 x2，那么,返回,例1. 不解方程，求方程 的 两根的平方和、倒数和。（解法如上）,运用根与系数的关系解题类型
4、,用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,例如：已知方程 x22x1的两根为x1,x2， 不解方程，求下列各式的值。 （1）（x1x2）2 （2）x13x2x1x23 （3）,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一个根，则另一个根是_，m =_。 2、设 X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( X1+X2)2 - _ = _ ( X1-X2)2 = ( _ )2 - 4X1X2 = _ 3、判断正误：以2和-3为根的方程是X
5、2X-6=0 （ ） 4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_ 。,X1+X2,2X1X2,-3,4,1,14,12,2和-1,基础练习,例2： 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程 的两个根分别是 、 ，其中 。所以： 即： 由于得：k=-7答：方程的另一个根是 ，k=-7,例3：已知方程 的两个实数根是 且 求k的值。,解：由根与系数的关系得X1+X2=-k， X1X2=k+2又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4K2-2k-8=0, = K2-4k-8 当k=4时， 0 当k=-2时，0 k=-2,
6、解得：k=4 或k=2,例4：方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,解:由已知,=,即,m0 m-10,0m1,总结规律：,两根均为负的条件： X1+X2 且X1X2 。,两根均为正的条件： X1+X2 且X1X2 。,两根一正一负的条件： X1+X2 且X1X2 。 当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac0 。 即：,练习：方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？ 解:(m1)24(2m1)m26m5 两根互为相反数两根之和m10,m1,且0m1时,方程的两根互为相反数.,两根互为倒数 m26m5,两根之
7、积2m11 m1且0,m1时,方程的两根互为倒数. 方程一根为0,两根之积2m10 且0, 时,方程有一根为零.,引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.,2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式.,3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初 中代数里，当且仅当 时，才 能应用根与系数的关系.,1.一元二次方程根与系数的关系是什么?,总结归纳,以 为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:,4、已知两根求作新的方程,本堂课结束了，望同学 们勤于思考，学有所获。,Goodbye! See you next time!,
