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1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十七讲 高阶导数,主讲:岑利群,第三节 高阶导数,一. 高阶导数的概念,二 隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数,一. 高阶导数的概念,推而广之:,按照一阶导数的极限形式, 有,和,一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导 数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为,如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记
2、为,解,注意, 当 k = n 时,综上所述：,解,多项式,的高阶导数.,解,对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .,求 y = ex 的各阶导数.,解,y = ex 的任何阶导数仍为 ex,求 y = ax 的各阶导数.,解,运用数学归纳法可得,求 y = lnx 的各阶导数.,解,设,类似地, 有,则,故由数学归纳法得,解,注意这里的方法,即,类似地, 有,解,看出结论没有？,运用数学归纳法可以证得,类似地 , 可求得,解,解,二阶导数经常遇到, 一定要掌握.,解,由复合函数及反函数的求导法则, 得,（可以看成参数方程求导）,原则是:按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导.,二、 隐函数及参数方程,对方程两边关于 x 求导:,解,想想如何求二阶导数？,对方程两边关于 x 求导, 得:,对( ) 方程两边关于 x 求导:,解,从而,(,),一般思路就是现对方程两边关于,求导，得,（ ）,式，求得,，然后直接对（ ）式再用,隐函数求导法，再对,求导，得到,。,方程两边对 x 求导,解,（ ）,再对（ ）,式两边对,求导，得,解,注意,仍是一个参数方程,也是参数方程,解,解,解,
