《2013高考数学分类汇总 考点25 数列求和及综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013高考数学分类汇总 考点25 数列求和及综合应用（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 考点考点 25 数列求和及综合应用数列求和及综合应用 一、选择题一、选择题 1. （2013新课标新课标高考理科高考理科12）设AnBnCn的三边长分别为 an，bn，cn，AnBnCn的面积为 Sn，n=1,2,3,若 b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则（ ） cnan 2 bnan 2 A、Sn为递减数列 B、Sn为递增数列 C、S2n1为递增数列，S2n为递减数列 D、S2n1为递减数列，S2n为递增数列 【解析】选B.因为，所以， nn aa 1 2 1 nn n ac b 2 1 nn n ab c 1 aan 1n b 1n c 2 nn ac 2
2、 nn ab 1 )( 2 1 )( 2 1 acbacb nnnnn ，注意到，所以. 1n b)2( 2 1 2 111 acbac nnn 111 2acb 1 2acb nn 于是中，边长为定值，另两边的长度之和为为定值. nnn CBA 1 aCB nn 1 2acb nn 因为， 1n b 1n c 2 nn ac 2 nn ab )( 2 1 nn cb 所以，当时，有，即，于是)() 2 1 ( 11 1 cbcb n nn n0 nn cb nn cb 的边的高随 增大而增大，于是其面积为 nnn CBA nnC B n hn nnnnn hahCBS 1 2 1 | 2 1
3、 递增数列. 二、填空题二、填空题 2.（2013新课标新课标高考理科高考理科14）若数列的前 项和，则 n an 3 1 3 2 nn aS 的通项公式是_ n a n a - 2 - 【解题指南】先利用 S1=a1求出 a1的值,再利用 Sn-Sn-1=an求出通项公式 an. 【解析】由，解得，又，所以 111 3 1 3 2 aaS1 1 a 3 1 3 2 nn aS ，得 ，所以数列是首项为 1，公比为的 11 22 33 nnnnn SSaaa 1 2 n n a a n a2 等比数列.故数列的通项公式 1 )2( n n a 【答案】 1 )2( n 3. （2013湖南高考
4、理科湖南高考理科15） 设为数列的前 n 项和，则 n S n a 1 ( 1), 2 n nn n SanN （1）_； 3 a （2）_. 12100 SSS 【解题指南】 （1） 令，代入 即可得到答案.3n4n （2）通过整理可发现当当 为偶数时有 1 1 1 2 1 2 1 ) 1( 2 1 ) 1( n n n n n nnn aassan ，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案. 1 1 2 1 n nn aa 【解析】 （1）因为，所以， ， 2 1 111 asa 4 1 1 a 8 1 33213 aaaas ，即 ， 把代入得. 16 1 443214 aaaaas 1
5、6 1 321 aaa 16 1 3 a （2）因为当时，整理得2n nn 1 nnn 1nn 1 n 1 11 ass( 1) a( 1)a 22 n n ，所以，当 为偶数时， n n n n n aa 2 1 ) 1() 1(1 ( 1 1 n n n a 2 1 1 当 为奇数时，所以，n n nn aa 2 1 2 1 1 1 2 1 n n a 所以，所以当 为偶数时， 为奇数 为偶数， n n n n n a , 2 1 2 1 1 n 1 1 2 1 n nn aa 所以 3 3 2 21100994321 2 1 2 1 2 1 aaassssss )()()( 2 1 2
6、1 991003412 100 100 99 99 aaaaaaaa 2310035992100 11111111111 ()()() 22222222222 - 3 - .) 1 2 1 ( 3 1 ) 2 1 1 () 2 1 1 ( 3 2 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 4 1 1 ) 4 1 1 ( 2 1 100100100 10050 【答案】 （1） （2） 16 1 ) 1 2 1 ( 3 1 100 4. （2013重庆高考理科重庆高考理科12）已知是等差数列，公差， n a 1 1a 0d 为其前 项和，若、成等比数列，则 n Sn 1 a 2 a 5 a 8 S
7、 【解题指南】先根据、成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出 1 a 2 a 5 a . 8 S 【解析】因为、成等 1 比数列, 所以,化简得 1 a 2 a 5 a 1 1a dd41)1 ( 2 dd2 2 因为,所以,故0d 2d.64568 2 78 8 18 daS 【答案】64 三、解答题三、解答题 5.（2013大纲版全国卷高考理科大纲版全国卷高考理科22）已知函数 1 =ln 1. 1 xx f xx x （I）若； 0,0,xf x时求的最小值; （II）设数列 2 1111 1,ln2. 234 nnnn aaaa nn 的通项证明： 【解析】 （I）， 2 2 )1
8、 ( )21 ( )( x xx xf 令，即，解得或0)( x f0 )1 ( )21 ( 2 2 x xx 0x 21 x 若，则时， ，所以. 2 1 )21 (20 x0)( x f0)(xf 若，则时，所以. 2 1 0x( )00,定义函数 f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数 列 a1,a2,a3,满足 an+1=f(an),nN*. (1)若 a1=-c-2,求 a2及 a3. (2)求证:对任意 nN*,an+1-anc. (3)是否存在 a1,使得 a1,a2,an,成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1;若不存 在,说明理由. 【解析】(1)a2=2,a3=c+1
9、0. (2)f(x)= 当 an-c 时,an+1-an=c+8c. 当-c-4an-2(-c-4)-c-8=c; 所以,对任意 nN*,an+1-anc. (3)由(2),结合 c0,得 an+1an,即an为无穷递增数列, - 6 - 又an为等差数列,所以存在正数 M,当 nM 时,an-c, 从而 an+1=f(an)=an+c+8, 由于an为等差数列,因此其公差 d=c+8. 若 a1-c,所以 an+1=f(an)=an+c+8, 而 a2=a1+c+8,故当 a1=-c-8 时,an为无穷等差数列,符合要求. 若-c-4a12 时,a3=2-(a1-2)=4-a1, 所以 a1
10、(4-a1)=(2-a1)2, 得 a1=2-(舍去)或 a1=2+. 综合得 a1=1 或 a1=2+. (3)假设这样的等差数列存在,那么 a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1|. 由 2a2=a1+a3得 2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*). 以下分情况讨论: 当 a12 时,由(*)得 a1=0,与 a12 矛盾; 当 00, 因此存在 m2 使得 am=a1+2(m-1)2. 此时 d=am+1-am=2-|am|-ama1a9,求 a1的取值范围. 【解题指南】按等比中项列式,a3用通项表示,求出首项,第(2)问,直接按基本量列 式求解. 【解析】(1)因为数列an的
11、公差 d=1,且 1,a1,a3成等比数列,所以=1(a1+2),即 2 1 a - 11 - -a1-2=0,解得 a1=-1 或 a1=2. 2 1 a (2)因为数列an的公差 d=1,且 S5a1a9, 所以 5a1+10+8a1, 2 1 a 即+3a1-100,解得-5a12. 2 1 a 15.（2013广东高考理科广东高考理科19）设数列的前 n 项和为，已知 n a n S ，. 2 11 212 1, 33 n n S aann n n N （1）求的值； 2 a （2）求数列的通项公式； n a （3）证明：对一切正整数 ，有.n 12 1117 4 n aaa 【解题指
12、南】本题以递推数列为背景，考查通项公式与前 n 项和的关系及不等 式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中， 放缩的尺度要拿捏准确. 【解析】 （1）因为，在中令，可得； 1 1a 2 1 212 33 n n S ann n 1n 2 4a （2）由已知可得，即，则当 32 1 12 2 33 nn Snannn 1 (1)(2) 2 3 nn n nn Sna 时， 可得，2n 1 (1) (1) 2(1) 3 nn nn n Sna 1 2(1)(1) nnn ananan n 也就是，同除以可得，数列是公差 1 (1)(1) nn nanan n (1)n
13、 n 1 1 1 nn aa nn n a n 为 1 的等差数列，且，所以，显然也满足，即所 1 1 1 a n a n n 2 n an 1 1a 2 n an 求通项公式为. 2 n an （3）当时，结论成立；1n 2 1 117 1 14a 当时，结论成立；2n 12 11157 1 444aa - 12 - 当时，则3n 2 11111 (1)1 n ann nnn 222 12 1111111 1 434 n aaan ，即对一切 1111 1 42 33 4(1)n n 5111111 423341nn 717 44n ，成立.n N 12 1117 4 n aaa 16.（2013广东高考文科广东高考文科19）设各项均为正数的数列的前 项和为， n an n S 满足且构成等比数列 2 1 441, nn Sann N 2514 ,a a a (1) 证明：； 21 45aa (2) 求数列的通项公式； n a (3) 证明：对一切正整数 ，有n 12231 1111 2 nn a aa aa a 【解题指南】本题以递推数列为背景，考查通项公式与前 n 项和的关系及不等 式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中， 放缩的尺度要拿捏准确. 【解析】 （1）当时，因为，所以； 1n 22 1221 45,45aaaa0 n a
