《线性规划问题的数学模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性规划问题的数学模型（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学建模系列讲座 （一）线性规划模型,线性规划问题,第一节 线性规划问题的数学模型 （一）引言线性规划是运筹学的重要分支之一，也是研究较早、发展较快、应用较广而且比较成熟的一个分支。自1947年线性规划被成功的运用于工业、交通、农业和军事等各个领域后，现在它已成为管理科学的重要基础和手段之一。随着计算机的普及，它的适应领域越来越广泛。线性规划研究的问题主要有两类：一是一项任务确定后，如何统筹安排，尽量作到用最少的人力物力资源去完成这一任务。二是已有一定数量的人力物力资源，如何安排使用他们，使得完成任务最多。其实这两类问题是一个问题的两个方面，就是所谓寻求整个问题的某个整体指标最优的问题。1.运
2、输问题 2.生产的组织与计划问题3.合理下料问题 4.配料问题5.布局问题 6.分配问题,（二）线性规划问题的数学模型,1.运输问题设有两个砖厂A1、A2。其产量分别为23万块与27万块。它们生产的供应B1、B2、 B 3三个工地。其需要量分别为17万块、18万块和15万块。自各产地到各工地的运价格如下表：问应如何调运，才使总运费最省。,解：设 xi j表示由砖厂Ai 运往工地 Bj 砖的数量（i=1,2；j=1,2,3),目标函数,约束条件,2.生产的组织与计划问题 某工厂生产A 、B两种产品，现有资源数、生产每单位产品所需原材料数以及每单位产品可得利润如下表所示。问如何制定生产计划使两种产
3、品总利润最大？,单位产品 产品,耗用资源,解：假设生产A产品x1公斤， B产品x2公斤， x1 ， x2称为决 策变量，简称变量。得到利润7 x1 +12 x2万元，这一问 题的数学模型为：,约束条件,目标函数,上述例子虽然有不同的实际内容，但是都可归结为一类 优化问题。从数学上说它们具有以下共同特征： 每一个问题都是求一组变量（称为决策变量）的值。 这组变量的一组定值就代表一个具体方案。通常要求这组变 量的取值是非负的。 存在一定的限制条件，称为约束条件。这些约束条件 都可以用一组线性等式或不等式来表示。 都有一个期望达到的目标，并且这个目标可以表示为 决策变量的线性函数（称为目标函数）。按
4、所研究问题的不 同，要求目标函数值最大化或最小化。我们将具有上述三个特点的最优化问题归结为线性规划问题，其数学模型称为线性规划问题的数学模型，简称线性规划数学模型。,线性规划问题的数学模型的一般形式,（1）式称为目标函数（2）式中等式或不等式称为约束条件 （3）式是非负约束条件x1 , x2, ,xn称为决策变量，简称变量。,满足约束条件的一组变量的值,称为线性规划问题的一个可行解，使目标函数取得最大（或最 小）的可行解称为最优解。此时，目标函数的值称为最优值。,建立线性规划数学模型的步骤首先，确定决策变量。线性规划的数学模型建得是否容易，求解是否方便，取决于决策变量的选取是否得当。其次，确定
5、约束条件，并根据实际问题添加非负条件。明确问题中所有的限制条件，并用决策变量的线性等式或不等式表示。一般可用表格形式列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。最后，确定目标函数，并确定是求极大还是求极小。用决策变量的线性函数来表示实际问题所要达到的目标，得到目标函数。,第二节 两个变量的线性规划问题的图解法,例1 求x1、x2的值，使它们满足,并且使目标函数f =2 x1+5x2的值最大。,图解法是利用直观的几何图形求解线性规划的一种几何解法,x1,2x1+5x2=19,2x1+5x2=15,2x1+5x2=8,2x1+5x2=4,x2=3,
6、x1=4,x1+2x2=8,0,x2,最优解为 x1=2，x2=3 相应的目标函数的最大值为 S=2*2+5*3=19,x1,x1+2x2=8,x1+2x2=6,x1+2x2=2,x1+2x2=0,x2=3,x1=4,x1+2x2=8,0,x2,例2 若把例1的目标函数改为 s= x1+2x2 ，最优解有 无穷多个，它们对应的目标函数值都是 8。（见下图）,例3 求x1、x2的值，使它们满足,并且使目标函数s=2 x1+2x2的值最小。,x1,x2,0,X1-x2=1,X1+2x2=0,2X1+2x2=2,2X1+2x2=6,2X1+2x2=10,2X1+2x2=16,最优解 X1=1，x2=
7、0, 目标函数最小值 s=2,解：,例4 若把例3改为使的目标函数的值最大，从图可看出目标函数无上界，因此无最优解,例5 求x1、x2的值，使它们满足,并且使目标函数s=2 x1+2x2的值最小。,x1,x2,-x1 + x2 =1,x1 + x2 = -2,没有可行解，当然没有最优解。,解：,（一）线性规划问题的标准形式,线性规划问题的数学模型有各种不同的形式。为了便于讨论，需要将线性规划数学模型写成统一格式。线性规划问题的标准型是：,第三节 单纯形法,约束条件（2）式又称等式约束（3）式称非负约束。标准型的特点为 （1）目标函数为最大值形式（2）约束条件用等式表示且等 式右端的常数为非负值
8、（3）决策变量非负。,把一般的线性规划问题化成标准型的过程称为线性规划问题的标准化。 线性规划问题的标准化的方法如下：,1. 求目标函数的最小值,令F=-f，则可将求f的最小值问题转化成求F的最大值问题，即,2. 约束条件为不等式 引入一个非负变量 xn+i，转化为线性等式，称xn+i 为松弛变量。,3. 若有bi0 可在该约束条件两边同乘 -1，化为,4.如果有某个变量xj 无非负约束 可引进非负变量xj/, xj/，令xj =xj /- xj/代入约束条件和目标函数中。,例1 将下面的线性规划问题化成标准型。,解 引进松弛变量 x40 , x5 0 ，将式中不等式约束条件变换成等式约束条件
9、：,将3x1-x2 -2x3 =-5两边同乘 -1，变为-3x1+x2 +2x3 =5,变量x3无非负约束，引进非负变量x6, x7，令x3 = x7 - x6 ，代入约束条件和目标函数。得,最后，令F=-f，则可将求f的最小值问题转化成求F的最大值问题。标准型为：,（二）、基本概念,定义 在线性规划的标准型中，如果有变量只在某一个约束方程中系数为1，在其余约束方程中系数全为0，则称为该约束的一个基变量；如果每个等式约束都有一个基变量，则称等式约束条件是这些基变量的典型方程组。如果线性规划的约束条件是典型方程组，不失一般性，设n 个变量的线性规划问题的典型方程组为：,其中基变量为x1 , x2
10、 , , xm ，从而xm+1 , xm+2 , , xn称为非基变量。 令非基变量xm+1 =0, xm+2 =0, xn =0 ，则可求得约束方程的一个解： x1 = b1, x2 = b2, , xm = bm , xm+1 =0 , xm+2 =0, , xn =0 称为基本解。如果bi0( i=1,2,m )则称此基本解为基本可行解。,(三)、单纯形法 1单纯形法的基本思想 单纯形法的基本思路是：根据标准型，从可行域的一个基本可行解开始，转移到另一个基本可行解，并且使目标函数值逐步变优，当目标函数值达到最大值时，就得到问题的最优解。,下面举例说明单纯形法的基本思想 例2 求解线性规划
11、问题,解 先将问题化成标准型,显然 x4 , x5为基变量， x1 , x2 , x3为非基变量，约束条件是典型方程组。 由（1）可得：,将（2）代入目标函数可得 f = 2x1 +3 x2 + x3 +0 , 令非基变量 x1 = x2 = x3 =0 则有 f = 2x1 +3 x2 +1x3 + 0 = 0 , 同时得到一个基本可行解x1 = x2 = x3 =0 ,x4=1, x5=3由f = 2x1 +3 x2 + x3 +0可知，非基变量的系数都是正数，若将其中任意一个非基变量变成基变量（取值从0变成正数）,都可以使目标函数值增加,所以只要在目标函数的表达式中还存在有正系数的非基变
12、量，就表示目标函数值还有增加的可能，从而不是最优解，就需要将非基变量与基变量进行对换。我们把非基变量转换为基变量称为进基。一般选择正系数最大的那个非基变量（本例为x2 ）为进基变量，以求得目标函数值较快的增加。将x2换入到基变量中。同时，还要确定基变量中有一个要换出来成为非基变量。变量由基变量转化成非基变量称为出基。,怎样确定出基变量，由（2）式， x2 为进基变量， x1, x3仍为非基变量，故x1, x3的值为零。代入（2）式可得,随着x2的值增加， x4, x5的值会逐渐变小，由于,才能保证x40, x50 （即解的可行性）。当x2 =9/4时， x5=0。即用 x2替换x5 （ x5出
13、基），于是得到新的基变量x4, x2 ,非基变量x1, x3 , x5 。这种确定出基变量的方法称为最小比值原则。,由（2）式写出用非基变量表示基变量的表达式：,整理得,代入目标函数得 f=27/4+5/4 x1 -17/4 x3 9/4 x5 令非基变量x1 = x3 = x5 =0 得一新的基本可行解x1 =0, x2 =9/4, x3 =0, x4 =1/4, x5 =0 代入代入目标函数 得相应的目标函数值 f= 27/4 非基变量x1的 系数是正数，说明目标函数值还可能增加，于是再用上述方法， 确定进基、出基变量，又得到另一个基本可行解 x1 =1, x2 =2, x3 =x4 =x
14、5 =0 f= 21+32=8 用非基变量表示目标函数 f= 8 - 3x3 5x4 - 1x5,式中所有非基变量的系数均是负数，意味着目标函数值不可能再增加，故此时的基本可行解就是最优解，最优值为8,2最优性检验 由标准形等式约束条件得,代入目标函数进行简单的运算后，用非基变量表示目标函数为,称为非基变量,的检验数。,将,用检验数来判定线性规划问题是否有最优解，有最优解定理。,定理 (1)如果关于非基变量的所有检验数,则基本可行解就是最优解,(2)如果关于非基变量的所有检验数,且其中有一个非基变量xm+k的检验数为零 则该线性规划问题有无穷多个最优解,(3)如果存在非基变量xm+k 的检验数
15、0 且xm+k对应的系数列均小于等于零则该线性规划问题无最优解,3. 单纯形表,用表格的形式来表示上面求解线性规划问题的单纯形法的计算过程可以使计算和检验更加简便。具体方法如下：将目标函数式改写为-f+ c1 x1 + c2 x2 + cnxn =0 且作为等式约束方程 组的第m+1个方程，得,对方程组(3-1)的增广矩阵施行初等行变换，化为如下的阶梯形矩阵,将矩阵表示成单纯形表,x1,x2,xm,xm+1,xn,x1,x2,xm,b1,b2,bm,a1m+1,a2m+1,amm+1,a1n,a2n,amn,下面通过具体的例子说明用单纯形法求解线性规划问题。,例1 用单纯形法解线性规划问题,解
16、 将该线性规划问题化为标准型,显然x3 , x4 , x5为基变量， x1 , x2为非基变量。可得单纯形表(下表所示）。这种直接从线性规划问题得到的单纯形表称为初始单纯形表,1,x3,x4,x5,x1,x2,x3,x4,x5,初始基本可行解为 x1 = x2 =0 , x3 =12 ,x4 =8 ,x5 =16。由于检验系数有正数，所以这个基本可行解不是最优解 。从x1 ， x2中选一个检验数最大的变量x2进基。根据最小比值原则(mim12/2,8/2=4)确定,x4出基。进基变量x2所在列与出基变量x4所在行的交叉处元素称为主元，加上方括号，再施行行初等变换，将主元所在列的主元化为1，其余元素化为0，得下表,
