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1、第七第七讲讲：三角函数的：三角函数的图图象与性象与性质质知识要点回顾：知识要点回顾： 1三角函数的定义域三角函数的定义域 （ （1） ）函数函数sin ,cosyxyx的定义域均为的定义域均为R （ （2） ）函数函数tanyx的定义域为的定义域为|,2x xkkZ2三角函数的值域三角函数的值域 （ （1） ）正弦函数和余弦函数的值域为正弦函数和余弦函数的值域为 1, 1，称为有界性，称为有界性|sin|1, | cos|1xx；函数；函数tanyx的值域为的值域为R （ （2） ）三角函数式的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三三角函数式的值域问题较复杂，除了代数求值
2、域的方法都可以适用外，还要注意三 角函数式本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换化简再求值域角函数式本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换化简再求值域 下列与三角函数有关的常用一些函数的值域要熟悉下列与三角函数有关的常用一些函数的值域要熟悉 sincos2sin()4yxxx，当，当xR时，时，2 ,2 y ；当；当(0,)2x时，时，(1,2 y ；当当x为三角形的一个内角时，为三角形的一个内角时，(1,2 y sincos2sin()4yxxx，当，当xR时，时，2 ,2 y ；当；当(0,)2x时时( 1, 1)y tancot(,22,)yxx 3三角函数的周期性三角函数的周期性
3、（ （1） ）对周期函数的定义，要抓住两个要点：对周期函数的定义，要抓住两个要点： 周期性是函数的整体性质，因此周期性是函数的整体性质，因此()( ) (0)f xTf xT必须对定义域中每一个自变必须对定义域中每一个自变 量量x成立时，非零常数成立时，非零常数T才是才是( )f x的周期周期是使函数值重复出现的自变量的周期周期是使函数值重复出现的自变量x的增加的增加 值值 正弦函数正弦函数sinyx和余弦函数和余弦函数cosyx都是以周期都是以周期2为最小正周期的周期函数；正切函为最小正周期的周期函数；正切函 数数tanyx和余切函数和余切函数cotyx都是以都是以为最小正周期的周期函数为最
4、小正周期的周期函数 在没有特别说明的情况下，周期一般是指最小正周期在没有特别说明的情况下，周期一般是指最小正周期 （ （2） ）熟记周期公式：熟记周期公式：sin(),cos()(0,0)yAxyAxA的最小正周期为：的最小正周期为：2 |T ；tan()(0,0)yAxA的最小正周期为：的最小正周期为：|T （ （3） ）三角函数的周期性在三角函数性质中的作用三角函数的周期性在三角函数性质中的作用 先在一个周期内研究其图象和性质，再由周期性推广到整个定义域内先在一个周期内研究其图象和性质，再由周期性推广到整个定义域内 （ （4） ）周期函数周期函数( )f x的常见表现形式：的常见表现形式：
5、 对定义域内的每个对定义域内的每个x，都有，都有()( ) (0)f xTf xT 成立，则成立，则2T是函数是函数( )f x的一个周的一个周 期期 对定义域内的每个对定义域内的每个x，都有，都有1()( )f xTf x或或1()(0)( )f xTTf x 成立，则成立，则2T是是函数函数( )f x的一个周期的一个周期 对定义域内的每个对定义域内的每个x，都有，都有() ( )(0)f xT f xbb，则，则2T是函数是函数( )f x的一个周期的一个周期 4三角函数的奇偶性，单调性三角函数的奇偶性，单调性 （ （1） ）研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间研究函数的单调性，关键
6、是求函数的单调区间 sinyx在的单调增区间是在的单调增区间是2, 222kk，单调减区间是，单调减区间是32, 222kk，其中，其中k Z cosyx在的单调增区间是在的单调增区间是2, 2kk，单调减区间是，单调减区间是2, 2kk，其，其 中中kZ tanyx在的单调增区间是在的单调增区间是,22kk，其中，其中kZ sin()y Ax的单调性：当的单调性：当0A，即，即A、同号时，由同号时，由2, 222kkx得到的得到的是增区间，由是增区间，由32, 222kkx得到的是减区间；当得到的是减区间；当0A，即，即A、异号时，由异号时，由x32, 222kk得到的是增区间，由得到的是增
7、区间，由2, 222kkx得到的是减区得到的是减区间其中间其中kZ 注意：注意： 周期函数的单调区间的正确书写格式周期函数的单调区间的正确书写格式 求正弦型函数求正弦型函数sin()yAx的单调区间时，一定要注意的单调区间时，一定要注意A与与的符号的符号 写单调区间时，务必注意函数的定义域，当定义域为写单调区间时，务必注意函数的定义域，当定义域为R时，别忘记加注时，别忘记加注kZ （ （2） ）奇偶性奇偶性 正弦函数、正切函数和余切函数在其定义域内均为奇函数，余弦函数在其定义域内均正弦函数、正切函数和余切函数在其定义域内均为奇函数，余弦函数在其定义域内均 为偶函数为偶函数 5三角函数的图象三角
8、函数的图象 （ （1） ）画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数在一个周期内的图象，画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数在一个周期内的图象， 再通过平移拓展得到整个定义域内的图象再通过平移拓展得到整个定义域内的图象（ （2） ）函数函数sinyx的图象关于点的图象关于点(, 0)k中心对称，关于直线中心对称，关于直线2xk轴对称；轴对称；cosyx图图象关于点象关于点(, 0)2k中心对称，关于直线中心对称，关于直线xk轴对称；轴对称；tanyx的图象关于点的图象关于点(, 0)2k中心中心对称，无对称轴其中对称，无对称轴其中kZ（ （3） ）函数函数sin(
9、)yAx的图象关于点的图象关于点中心对称，关于直线中心对称，关于直线轴对称，轴对称，(, 0)k 2kx 其中其中kZ 6函数函数( )sin() (0,0)f xAxA的图象与性质的图象与性质 （ （1） ）周期性、单调性、图象的对称性参见前面相关内容周期性、单调性、图象的对称性参见前面相关内容（ （2） ）奇偶性：当且仅当奇偶性：当且仅当()kkZ时，时，( )f x为奇函数；当且仅当为奇函数；当且仅当时，时，()2kk Z( )f x为偶函数为偶函数 （ （3） ）一个周期内的五个点的坐标、单调性、周期性、对称性间的关系一个周期内的五个点的坐标、单调性、周期性、对称性间的关系任何两个相邻
10、关键点的横坐标之差为任何两个相邻关键点的横坐标之差为4T或或4T，任何两个相邻的对称中心相距，任何两个相邻的对称中心相距2T，任，任何两个相邻最值点横坐标之差为何两个相邻最值点横坐标之差为2T，任何相邻两条对称相距，任何相邻两条对称相距2T，且相邻两对称轴间的区间，且相邻两对称轴间的区间是函数的一个长度最大的单调区间，任何一个长度最大的单调区间的长度为是函数的一个长度最大的单调区间，任何一个长度最大的单调区间的长度为2T，若函数，若函数( )f x在区间在区间,ab上单调，则上单调，则2Tba 对称轴与图象的交点为函数的最大值或最小值对称轴与图象的交点为函数的最大值或最小值点点 （ （4） ）
11、图象变换的基本知识图象变换的基本知识 （ （平移、对称、伸缩变换，数形间的关系及相互转化平移、对称、伸缩变换，数形间的关系及相互转化） ） （ （5） ）对一于函数对一于函数sin()AxB， ，要注意参数要注意参数AB、对函数图象与性质的影响和制对函数图象与性质的影响和制 约约 7注意事项注意事项 （ （1） ）三角函数的图象包括：三角函数的图象包括：sincostanyxyxyx、的图象；的图象；“五点法五点法”画出画出sin()Ax的简图；的简图；利用平移和伸缩变换画出利用平移和伸缩变换画出sin()Ax的图象对三角函数图象要从的图象对三角函数图象要从 对称轴和有界性双角度去把握，对称性
12、包括对称轴和对称中心两个关键要素，这是高考命对称轴和有界性双角度去把握，对称性包括对称轴和对称中心两个关键要素，这是高考命 题的一个热点题的一个热点 （ （2） ）三角函数的性质包括：三角函数的性质包括：奇偶性，奇偶性，单调性，单调性，周期性，周期性，最值，最值，图象的对称图象的对称 性其中对三角函数性质的研究要首先建立在定义域的基础之上而求三角函数的定义域性其中对三角函数性质的研究要首先建立在定义域的基础之上而求三角函数的定义域 往往要解三角不等式，解三角不等式的方法一般表现为图象法或三角函数线法往往要解三角不等式，解三角不等式的方法一般表现为图象法或三角函数线法 （ （3） ）对三角函数性
13、质的考查总是与三角变换相结合一般解题规律是先对三角函数关系对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合一般解题规律是先对三角函数关系 式进行三角变换化简为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性式进行三角变换化简为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性 质的研究质的研究（ （4） ）三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（ （顶点、零点、对称中心、对顶点、零点、对称中心、对 称轴、单调性、渐近线等称轴、单调性、渐近线等） ）；应熟练掌握用；应熟练掌握用“五点法五点法”作图的基本原理并能快速、准确地作作图的基
14、本原理并能快速、准确地作 图；图；“五点法五点法”中五个点的坐标与周期、单调区间的长度、对称性、最值间的关系，明确中五个点的坐标与周期、单调区间的长度、对称性、最值间的关系，明确 A、的取值对它们的制约与影响的取值对它们的制约与影响（ （5） ）在图象变换中，注意周期与最值的大小变化与伸缩间的关系当平移变换与伸缩在图象变换中，注意周期与最值的大小变化与伸缩间的关系当平移变换与伸缩 变换均需使用时，应注意实施两种变换的先后顺序对变换结果的影响变换均需使用时，应注意实施两种变换的先后顺序对变换结果的影响 （ （6） ）角的取值区间或取值集合的正确表示，注意区分何时只能用区间，何时表示形式角的取值区间或取值集合的正确表示，注意区分何时只能用区间，何时表示形式 不限，还要注意是否需要加注不限，还要注意是否需要加注“kZ” 解题方法与策略分析解题方法与策略分析 1处理三角函数的图象与性质问题时，其基本解题方法与策略是通过三角变换将函数处理三角函数的图象与性质问题时，其基本解题方法与策略是通过三角变换将函数 的解析式化为的解析式化为sin()(0,0)AxBA或或tan()(0,0)AxBA的形式，然后直的形式，然后直 接利用函数接利用函数sin()Ax或或tan()Ax的图象与性质，必要时充分利用的图象与性质，必要时充分利用“五点法五
