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1、 二次函数二次函数【知识清单知识清单】一、网络框架2(0)0=00=0000000yax ayayayaxyxxyxaxyxxyx 最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0, 0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）, 随的增大而减小。在对称轴右边（即）, 随的增大而增大。增减性 当时，在对称轴左边（即）, 随的增大而增大。在对称轴右边（即）, 随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440yaxbxc aaabac baa bxaac bac bayayaaa 最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之
2、间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左 增减性：22022bbxyxxyxaa bbaxyxxyxaa 边（即-）, 随的增大而减小。在对称轴右边（即-）, 随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）, 随的增大而增大。在对称轴右边（即-）, 随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题 二、清单梳理1、一般的，形如2(0, , ,)yaxbxc aa b c是常数的函数叫二次函数。例如222212,26,4 ,5963yxyxyxx yxx 等
3、都是二次函数。注意：系数a不能为零，, b c可以为零。2、二次函数的三种解析式（表达式）一般式：2(0, , ,)yaxbxc aa b c是常数顶点式：2()( , ,0)ya xhk a h ka为常数，且，顶点坐标为( , )h k交点式：1212()()(0,)ya xxxxax xx其中是抛物线与轴的交点的横坐标3、二次函数的图像位置与系数, ,a b c之间的关系a：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当0a 时，开口方向向上；当0a 时，开口方向向下。|a决定开口大小，当|a越大，则抛物线的开口越小；当|a越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。c：决定抛物线与y轴交点的位置。当
4、0c 时，抛物线与y轴交点在y轴正半轴（即x轴上方） ；当0c 时，抛物线与y轴交点在y轴负半轴（即x轴下方）；当0c 时，抛物线过原点。反之，也成立。 ab和：共同决定抛物线对称轴的位置。当02b a时，对称轴在y轴右边；当02b a时，对称轴在y轴左边；当02b a（即当0b 时）对称轴为y轴。反之，也成立。特别：当1x 时，有yabc；当1x 时，有yabc。反之也成立。4、二次函数2()ya xhk的图像可由抛物线2yax向上（向下） ，向左（向右）平移而得到。具体为：当0h 时，抛物线2yax向右平移h个单位；当0h 时，抛物线2yax向左平移h个单位，得到2()ya xh；当0k
5、时，抛物线2()ya xh再向上平移k个单位，当0k 时，抛物线2()ya xh再向下平移k个单位，而得到2()ya xhk的图像。5、抛物线2(0)yaxbxc a与一元二次方程20(0)axbxca的关系：若抛物线2(0)yaxbxc a与x轴有两个交点，则一元二次方程20(0)axbxca有两个不相等的实根。若抛物线2(0)yaxbxc a与x轴有一个交点，则一元二次方程20(0)axbxca有两个相等的实根（即一根） 。若抛物线2(0)yaxbxc a与x轴无交点，则一元二次方程20(0)axbxca没有实根。6、二次函数2(0, , ,)yaxbxc aa b c是常数的图像与性质关
6、系式2(0)yaxbxc a2()(0)ya xhk a图像形状抛物线顶点坐标24(,)24bacb aa( , )h k对称轴 2bxa xh0a 在图像对称轴左侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而减小；在图像对称轴右侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而增大；增减性0a 在图像对称轴左侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而增大；在图像对称轴右侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而减小；0a 当2bxa 时，24=4acbya最小值当xh时，=ky最小值最大值最小值0a 当2bxa 时，24=4acbya最大值当xh时，=ky最大值【考点解析考点解析】考点一：二次函数的概念考点一：二次函数
7、的概念【例 1】下列函数中是二次函数的是（ ）2.81A yx .81B yx 8.C yx 23.4D yx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A中281yx符合2(0)yaxbxc a的形式，所以是二次函数，,B C分别是一次函数和反比例函数，D中右边234x不是整式，显然不是二次函数。【答案】A【例 2】已知函数2234(2 )3(1)mmymm xmxm是二次函数，则m _。【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x的最高次数为2”。故有2220342mmmm，解得0212mmmm 且或，综上所述，m取2。【答案】2【针对训练针对训练】1、若函数22(
8、2)mymxmx是二次函数，则该函数的表达式为_y 。考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例 1】已知点8 , a在二次函数2axy 的图象上，则a的值是（）2 . A 2.B .C2 2.D【解析】因为点8 , a在二次函数2axy 的图象上，所以将点8 , a代入二次函数2axy 中，可以得出3a8，则可得2a，【答案】. A【例 2】 （2011，泰安）若二次函数cbxaxy2的x与y的部分对应值如下表，则当1x时，y的值为（ ）x765432y271333535 . A 3.B 13.C 27【解析】设二次函数的解析式为khxa
9、y2，因为当4x或2时，3y，由抛物线的对称性可知3h，5h，所以532xay，把3 , 2代入得，2a，所以二次函数的解析式为5322xy，当3x时，27y。 【答案】C【针对训练针对训练】1、(2002 年太原 )过0 , 1, 0 , 3, 2 , 1三点的抛物线的顶点坐标是（ ）. A 2 , 1 2.(1, )3B 5 , 1. C 14.(2,)3D2、无论m为何实数，二次函数2xy mxm 2的图象总是过定点（ ） 3 , 1. A 0 , 1.B 3 , 1. C 0 , 1D【例 3】 （2010，石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数cbxaxy2的图象顶点为2
10、, 2.A，且过点2 , 0B，则y与x的函数关系式为（ ） . A22 xy.B222 xy .C222 xy .D222 xy【解析】设这个二次函数的关系式为222xay，将2 , 0B代入得22022，解得：1a，故这个二次函数的关系式是222 xy，【答案】D【针对训练针对训练】1、 （2002，太原）过0 , 1， 0 , 3， 2 , 1三点的抛物线的顶点坐标是_。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数, ,a b c的关系）的关系）【例 1】 （2012，兰州）已知二次函数bxay2) 1()0(a有最小值 1，则a、b的大小
11、关系为（ ）. Aba .Bba .Cba .D不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数bxay2) 1()0(a有最小值 1，所以0a，1b，1b，所以ba 。【答案】. A【针对训练针对训练】 1、二次函数1422xxy的最小值是 。2、 （2013，兰州）二次函数3) 1(22xy的图象的顶点坐标是（ ）. A)31 ( ， .B)31(， .C)31 ( ， .D)31( ，3、抛物线)2( xxy的顶点坐标是（ ）. A) 11( ， .B) 11(， .C) 11 ( ， .D) 11 ( ，【例 2】 （2012，兰州）抛物线3)2(2 xy可以由抛物线2x
12、y 平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）. A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位.B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线2xy 向左平移 2 个单位可得到抛物线2)2( xy，再向下平移 3个单位可得到抛物线3)2(2 xy。 【答案】.B【针对训练针对训练】 1、 （2012，南京）已知下列函数：（1）2xy ；（2）2xy；（3）2) 1(2 xy。其中，图象通过平移可以得到函数322xxy的图象的有 （填写所有正确选项的序号）
13、。2、 （2009，上海）将抛物线22 xy向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。3、将抛物线2xy向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）. A22xy .B2)2( xy.C2)2( xy .D22xy【例 3】 （2013，长沙）二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） . A0a.B0c.C042 acb .D0cba【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，与x轴有两个交点，所以0a，0c，042 acb，且当1x时，0cbay。显然选项A、B、C 都正确，只有选项 D 错误。 【答案】.D【例 4】 （2011，山西）已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，对称轴为直线1x，则下列结论正确的是（ ）. A0ac.B方程02cbxax的两根是11x，32x.C02ba.D当0x时，y随x的增大而减小【考点】图
