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1、第三章 分子热运动能量和速度的统 计分布律,分布 分布函数 速率分布函数 速率分布函数的归一化条件 *速率分布函数的定义域,麦克斯韦速 率分布函数,f(v) = 4m/(2kT)3/2 expmv2/(2kT)v2 = 4-1/2m/(2kT)3/2 expmv2/(2kT)v2.,f(v)称为麦克斯韦速率分布函数，式中的T为气体的热力学温度，m为气体分子质量。,麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律的适用范围 麦克斯韦速率分布曲线的特征,*路程按时间的分布函数 *速率恰为某值的分子数与质点在某时刻通过的路程 *类比法,气体分子的最概然速率 *随机事件 *概率 *概率加法定理 *概率乘法定理
2、*概率分布函数,随机事件 与概率,随机现象：有可能出现多种结果的现象。 随机事件：随机现象的每一表现或结果。,频率：某事件出现次数对总次数的比率。 概率：某事件频率在总次数趋于无限大时的极限。,不可能事件的概率为零。 必然事件的概率为一。,概率加法定理：互不相容（互斥）事件出现的概率的和等于出现其中任一事件的概率。,概率乘法定理：互相独立事件同时出现的概率等于各事件单独出现时概率的积。,*麦克斯韦速率分布函数的约化形式 *麦克斯韦速率分布曲线出现极大值的点的轨迹,麦克斯韦速率分布函数的 约化形式,令vp = (2kT/m)1/2， x = v/vp. f(v)dv = 41/2m/(2kT)3
3、/2 expmv2/(2kT)v2dv = 41/2vp-3 exp(v2/vp2)v2dv.,f(v)dv = 41/2x2 exp(x2)dx =F(x)dx. 但要特别注意: F(x) = 41/2x2exp(x2) f(v).,麦克斯韦速率分布曲线出 现极大值的 点的轨迹,f(v)=41/2m/(2kT)3/2 expmv2/(2kT)v2. 将vp = (2kT/m)1/2代 入f(v)可得：,f(vp)=41/2m/(2kT)3/2 expmvp2/(2kT)vp2 =41/2expvp2-2vp-3+2 = 41/2e1vp-1.,由此可得： vpf(vp) = 41/2e1 =
4、常量. 这是一条双曲线的方程。,用麦克斯韦速率分布函数的约化形式来求速率分布曲线出现极大值的点的轨迹似乎更简便。,x = v/vp， dx/dv = 1/vp. f(v) =F(x)dx/dv =F(x)/vp =41/2x2exp(x2)/vp.,f(vp) = F(1)/vp = 41/2e1/vp. 即vpf(vp) = 41/2e-1 =常量. 这是一条双曲线的方程。,用麦克斯韦速率分布函数求平均值 气体分子的平均速率与方均速率 *平均速率的简捷计算,平均速率与方均根速率的关系 速率倒数的平均值与方均根值 *分子特征速率的量纲分析,用麦克斯韦速率分布函数求粒子数 误差函数 *误差函数的
5、计算 *气体分子速率的中值 *线性内插 *速率中值与其他特征速率之间的关系,用麦克斯韦速率分布函数推导分子的平动能分布函数 *平动能分布曲线的特征 气体分子平动能的平均值与最概然值 *平动能分布函数的约化形式,*气体分子的最概然速率与最概然平动能之间的关系 *麦克斯韦速度分布曲线的特征 *麦克斯韦速度分布函数的约化形式,速度空间 麦克斯韦速度分布律与麦克斯韦速率分布律的关系 *麦克斯韦对速度分布律的推导 用麦克斯韦速度分布函数推导气体的压强公式和分子通量公式,泻流 分子束 *泻流条件 麦克斯韦发射分布 *分子束中分子的平均速率与方均根速率,麦克斯韦速率分布律的实验验证 密勒和库士实验 葛正权实
6、验 *葛正权简介,*扩散法分离核素 *电磁法分离核素 *核燃料的生产 *核能的利用 *中国的核科学技术,等温大气 等温气压公式 兰州市区的大气压 *珠穆朗玛峰的大气压 *气压计和高度计,重力场中微拉按高度的分布 *沙尘暴 *大气污染的治理 *阿伏伽德罗常量的测定,*大气标高 *等温大气标高 *等温大气中粒子的平均高度与平均重力势能,*均质大气 *均质大气高度 大气粒子总数 (N大气 = 1.07401044) 大气总质量 *大气的总重力势能,*大气的热运动总能量 *世界对初级能源的年消耗量 *能源问题 *新能源的开发与利用,*大气的温度结构 *大气的均质层 *大气的非均质层 *大气非均质层内的
7、重力分离现象,*标准大气 *估算大气粒子总数时忽略了地面的凹凸不平所造成的误差,用标准大气模型估算大气粒子总数,忽略了地面的凹凸不平时，得干洁大气粒子总数为 N = 1.1006201044,估算干洁大气粒子总数时，忽略了地面的凹凸不平所造成的误差为 N = 3.0998661042,考虑到地面的凹凸不平时，得干洁大气粒子总数为 N干 = N N = 1.069621044,大气中水分子的总数为 N水 = 4.351041,考虑到地面的凹凸不平时，得大气粒子(含水)总数为 N大气 = N干 + N水 = 1.07401044,大气粒子总数为 1.07401044,地球表面上 干洁大气的 典型数
8、据,(当g = 9.80665 ms-2, p = 101325 Pa, T = 288.150 K = 15.000 C时),分子摩尔质量 = 28.964410-3 kgmol-1,气体质量密度 = p/(RT) = 1.2250 kgm-3,分子数密度 n = p/(kT) =2.54701025 m-3,绝热指数 = cp /cV = 1.400,声音传播速度 c = (RT/)1/2 = 340.29 ms-1,大气标高 H = RT/(g) = 8.4345103 m,保守力场中微粒按势能的分布 *热带风暴 *离心法分离核素 麦克斯韦玻尔兹曼分布律,*粒子数布居反转 *负绝对温度
9、*宇宙的有限与无限 *玻尔兹曼对速度分布律的推导,玻尔兹曼对于麦克斯韦速度分布律的推导,1876年，玻尔兹曼提出以下证明思路：在均匀重力场中恒温理想气体的分子数密度为n(h) = n(0)expmgh/(kT).,但是，速度分量vz的分布函数f(vz)应该仅由温度T决定而与重力场强g或高度h无关。高处的n(h)之所以会比较小，是由于低处那些vz小的分子不能克服重力场而飞到高处。,因此，正是分子的速度分布决定了其在重力场中按高度的分布。两者密切相关，据此可以推导速度分量vz的分布函数f(vz).,n(h) = n(0)expmgh/(kT). mvz2/2 = mgh, m 0, vzdvz =
10、 gdh.,在h = 0处，速度分量vz分布在vzvz+dvz区间内的分子向上的通量，应该等于在h处与在h+dh处各种速率分子向上的通量之差。,n(0)vzf(vz)dvz = dJ(0, vz vz+dvz) = J0(h)J0(h+dh) = dJ0(h) = d0n(h)vzf(vz)dvz,= dn(0)expmgh/ (kT)0vzf(vz)dvz = n(0)mg/(kT) expmgh/(kT)dh 0vzf(vz)dvz,= n(0)m/(kT) expmvz2/ (2kT)vzdvz 0vzf(vz)dvz = m/(kT)0vzf(vz)dvz n(0)expmvz2/(2
11、kT) vzdvz,= Cexpmvz2/(2kT) n(0)vzdvz. C = m/(kT)0vzf(vz)dvz. n(0)vzdvz 0, f(vz) = Cexpmvz2/(2kT).再利用分布函数f(vz)的归一化条件就能确定C的值。,20f(vz)dvz = 1 = 2CkT/(2m)1/2 = C(2kT/m)1/2. f(vz) = m/(2kT)1/2 expmvz2/(2kT).,现在分布函数f(vz)可以用于g = 0（即无重力场）时沿任何方向所选定的 z轴。换句话说，加上或取消重力场，都不会影响与改变分子的速度分布。原来利用重力场只是手段。,自由度 分子运动的自由度 分子的平动自由度 分子的转动自由度 分子的振动自由度,刚性分子和非刚性分子的自由度 *线形分子和非线形分子的自由度,能量均分定理 由能量均分定理和理想气体压强公式推导理想气体的实验定律,气体分子热运动的平均总能量 理想气体的内能 焦耳定律 焦耳定律的微观解释,理想气体热容的经典理论 能量均分定理的应用限度 *量子理论对气体热容的解释,杜隆珀蒂定律 *考普定律,第三章小结,
