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1、2.2.4 点到直线的距离,第二章 2.2 直线的方程,学习目标 1.了解点到直线的距离公式的推导方法. 2.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题. 3.初步掌握解析法研究几何问题的方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,思考 点到直线的距离公式对于当A0或B0时的直线是否仍然适用？,知识点一 点到直线的距离,垂线段,思考 直线l1：xy10上有A(1,0)，B(0,1)，C(1,2)三点，直线l2：xy10与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？,知识点二 两条平行直线间的距离,梳理 两条平行直线间的距离及公式 (1
2、)定义：夹在两平行线间的 的长.(2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离. (4)公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d .(A，B不全为0，C1C2),公垂线段,思考辨析 判断正误 1.点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为 .( ) 2.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.( ) 3.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( ),题型探究,例1 (1)求点P(2，3)到下列直线的距离.,类型一 点到直线的距离,解答,3y4；,解 3y4可化为3y40，,解 x3可化为x30，
3、,解答,x3.,解答,(2)求过点M(1,2)，且与点A(2,3)，B(4,5)距离相等的直线l的方程.,解 方法一 当过点M(1,2)的直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x1， 恰好与A(2,3)，B(4,5)两点的距离相等， 故x1满足题意. 当过点M(1,2)的直线l的斜率存在时， 设l的方程为y2k(x1)， 即kxyk20. 由点A(2,3)与点B(4,5)到直线l的距离相等，得,综上所述，直线l的方程为x1或x3y50. 方法二 由题意，得lAB或l过AB的中点， 当lAB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，,即x3y50. 当l过AB的中点(1,4)时，直线l的
4、方程为x1. 综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.,反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. 当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. 直线方程AxByC0，当A0或B0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (2)当用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.,跟踪训练1 (1)若点(4，a)到直线4x3y0的距离不大于3，则a的取值范 围为_.,答案,解析,(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_.,答案
5、,2xy20或2x3y180,解析 过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x3与A、B两点的距离不相等， 故可设所求直线方程为y4k(x3)， 即kxy43k0.,解析,所求直线l的方程为2x3y180或2xy20.,类型二 两平行线间的距离,例2 (1)两直线3xy30和6xmy10平行，则它们之间的距离为 _.,答案,解析,m2. 将直线3xy30化为6x2y60，,(2)已知直线l到直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则l的方程为_.,答案,2xy10,解析 设直线l的方程为2xyC0，,解析,解得C1， 直线l的方程为2xy10.,跟踪训练2 (1)求与直线l：5x12y6
6、0平行且到l的距离为2的直线方程；,解答,所以C32或C20， 故所求直线的方程为5x12y320或5x12y200.,解 方法一 设所求直线的方程为5x12yC0，,解得C32或C20， 故所求直线的方程为5x12y320或5x12y200.,方法二 设所求直线的方程为5x12yC0，,(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程.,解 依题意得，两直线的斜率都存在， 设l1：yk(x1)，即kxyk0， l2：ykx5，即kxy50. 因为l1与l2的距离为5，,解答,所以l1和l2的方程分别为y0和y5或5x12y50和5x12y6
7、00.,类型三 利用距离公式求最值,命题角度1 由点到直线的距离求最值,上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x8y10上任意一点M(x，y)的距离， S|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，,答案,解析,反思与感悟 解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.,跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线xy40上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标；,解 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离， 此时OP垂直于已知直线，则kOP1， OP所在的直线方程为yx.,解答,点P的坐标为(2,2)
8、.,(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.,解 由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大， kOP2，,解答,即x2y50.,命题角度2 有关两平行线间距离的最值 例4 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(3，1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. (1)求d的取值范围；,解 设经过点A和点B的直线分别为l1，l2，,解答,(2)求d取最大值时，两条直线的方程.,两直线的方程分别为3xy200或3xy100.,解答,反思与感悟 两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值.,跟踪训练4
9、已知P，Q分别是直线3x4y50与6x8y50上的动点，则|PQ|的最小值为,解析 两平行线间的距离就是|PQ|的最小值， 3x4y50可化为6x8y100，,解析,答案,达标检测,1.已知点(a,1)到直线xy10的距离为1，则a的值为,1,2,3,4,5,答案,解析,2.直线x2y10与直线x2yC0的距离为 ，则C的值为 A.9 B.11或9 C.11 D.9或11,1,2,3,4,5,答案,解析,解得C9或11.,1,2,3,4,5,答案,解析,3.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2xy10上，则|MP|的最小值是,解析 点M到直线2xy10的距离，即为|MP|的最小值，,1,2,3,4,5,答案,4.两平行直线3x4y50与6xay300间的距离为d，则ad_.,ad10.,解析,10,1,2,3,4,5,5.直线3x4y270上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是_.,答案,解析 由题意知过点P作直线3x4y270的垂线， 设垂足为M，则|MP|为最小，,解析,(5，3),所求点的坐标为(5，3).,规律与方法,1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之. 2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.,
