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1、基础知识 一、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离 的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ,相等,焦点,准线,二、抛物线的标准方程与几何性质,三、抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦叫抛物线的通径，抛物线y22px(p0)的通径长为 . 抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为，则有下列性质 1y1y2 ，x1x2.,2p,p2,5以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 6以AF或(BF)为直径的圆与y轴相切,易错知识 一、抛物线的定义失误 1到直线x2与定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是 ( ) A抛物线 B双曲线 C椭圆 D直
2、线 答案：D,二、抛物线方程的四种标准形式失误 2已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为_ 答案：4,三、抛物线的性质应用失误 3已知抛物线的方程y2ax(a0)，则它的焦点坐标为_，准线方程为_,4已知A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，O为坐标原点，若|OA|OB|，且抛物线的焦点恰为AOB的重心，则直线AB的方程是_,回归教材 1(教材P1362题改编)抛物线y8mx2(m0)，F是焦点，则m表示 ( ) AF到准线的距离 BF到准线的距离的倒数 CF到准线的距离的 DF到准线的距离的倒数的,2(2009湖南，2)抛物线y28x
3、的焦点坐标是( ) A(2,0) B(2,0) C(4,0) D(4,0) 解析：由抛物线方程y2 8x得2p8，2，从而抛物线的焦点为(2,0)故选B. 答案：B,3抛物线x24ay(a0)的准线方程为( ) Axa Bxa Cya Dya 解析：焦点在y轴上，故准线方程为y 即ya，故选C. 答案：C,4与椭圆 共焦点的抛物线的标准方程为( ) Ay212x By212x Cy212x或y212x D以上都不对 解析：椭圆的焦点为(3,0)和(3,0) 故抛物线的焦点为(3,0)或(3,0) 所求抛物线方程为y212x或y212x.故选C. 答案：C,5(2009四川，13)抛物线y24x
4、的焦点到准线的距离是_ 解析：y24x焦点为(1,0)，准线为x1.焦点到准线的距离为2. 答案：2,【例1】 动点P到直线x40的距离减去它到点M(2,0)的距离之差等于2，则点P的轨迹是 ( ) A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析 根据所给条件，结合图形可知动点P到定直线x2及定点M(2,0)的距离相等，故选D. 答案 D 总结评述 注意利用定义法判断轨迹形状.,(2008北京，4)若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以
5、(2,0)为焦点，以直线x2为准线的抛物线，故选D. 答案：D,求与直线l：x1相切，且与圆C：(x2)2y21相外切的动圆圆心P的轨迹方程 解析：设动圆圆心P(x，y)，动圆半径为r.由已知条件知因此P点轨迹以F(2,0)为焦点l：x2为准线的抛物线，又 动圆圆心P的轨迹方程为y28x.,【例2】 试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(3,2)； (2)焦点在直线x2y40上. 分析 从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；而从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.,解答 (1)设所求的抛物线方程为y2
6、2px，(p0)或x22py(p0)， 过点(3,2)，42p(3)或92p2，所求的抛物线方程为 前者的准线方程是 后者的准线方程是y,(2)令x0得y2，令y0得x4， 抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)，当焦点为(4,0)时， 4， p8，此时抛物线方程为y216x； 焦点为(0，2)时， 2， p4，此时抛物线方程为x28y， 所求的抛物线的方程为y216x或x28y，对应的准线方程分别是x4，y2. 总结评述 这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.,(2009山东，10)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点
7、A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( ) Ay24x By28x Cy24x Dy28x 答案：B,【例3】 已知AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证：,分析 考查抛物线的过焦点的弦的性质 将抛物线的焦点弦的方程设出，代入抛物线方程，利用韦达定理等解决问题,当k不存在时，直线方程为 这时y1p，y2p，则y1y2p2，x1x2 因此，总有y1y2p2，x1x2,(2)由抛物线定义：|AF|等于点A到准线x 的距离 |AF|x1 ，同理：|BF|x2 . |AB|AF|BF|x1x2p. 又yk(x ),(3)如图
8、，,(5)设AB的中点为M(x0，y0)分别过A、M、B作准线的垂线，垂足为C、N、D， 则|MN| (|AC|BD|) (|AF|BF|) |AB|. 以AB为直径的圆与准线相切,总结评述 (1)抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质(特别是某点的焦半径等于这点到准线的距离，化两点间的距离为点线间的距离)应用起来非常方便，还有其它的一些性质这里就不一一证明了如：ANB90，以CD为直径的圆切AB于点F等 (2)以上证明的五个结论是抛物线中非常重要的结论，切记,设A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB. (1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)求证：直线AB过定点；
9、(3)求弦AB中点P的轨迹方程； (4)求AOB面积的最小值,AB过定点(2p,0)，设M(2p,0) 当x1x2时，AB仍然过定点(2p,0),中点P的轨迹方程为y2px2p2.(p0) (4)SAOBSAOMSBOM |OM|(|y1|y2|)p(|y1|y2|)2p 4p2，当且仅当|y1|y2|2p时，等号成立，故AOB面积的最小值为4p2.,【例4】 (2009东北三校联考)已知A、B两点在抛物线C：x24y上，点M(0,4)满足 (1)求证： 2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N. ()求证：点N在一定直线上； ()设49，求直线MN在x轴上截距的取值范围,解析 (1)设A(x
10、1，y1)，B(x2，y2)，lAB：ykx4，与x24y联立得x24kx160，(4k)24(16)16k2640，x1x24k，x1x216.x1x2y1y2x1x2(kx14)(kx24)(1k2)x1x24k(x1x2)16(1k2)(16)4k(4k)160，,设F是抛物G：x24y的焦点 (1)过点P(0，4)作抛物线G的切线，求切线方程； (2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足0，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值,1求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程 2注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题,请同学们认真完成课后强化作业,
