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1、第 1 次作业1、考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企 业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请 工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两 个学生申请，则每个学生获得工作的概率为 1/2。现在假定每家企业的工资满足： W1/20，试计算此博弈的贝叶斯均衡。md博弈论第 1 次作业答案1 1、a a写出以上博弈的战略式描述写出以上博弈的战略式描述b b求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）存在两个纯战略纳什均衡：分别为（企业 1，企业 2） ，收 益为。 （企业
2、 2，企业 1） ，收益为。)2, 1(WW) 1, 2(WW存在一个混合策略均衡：令学生 A 选择企业 1 的概率为，p选择企业 2 的概率为;学生 B 选择企业 1 的概率为，选择企p1q业 2 的概率为。q1当学生 A 以的概率选择时，学生 B 选择企业 1 的期望)1 ,(pp 收益应该与选择企业 2 的期望收益相等，即：221).1 (2.1)1 (121.WpWpWpWp解得：,21212 WWWWp211221WWWWp同理求出：221).1 (2.1)1 (121.WqWqWqWq解得：,21212 WWWWq211221WWWWq学生 B企业 1企业 2企业 1)221, 1
3、21(WW)2, 1(WW学生 A企业 2) 1, 2(WW) 121, 221(WW所以，混合策略纳什均衡为：学生 A、B 均以的概率选择企业 1，企业 2。)21122,21212(WWWW WWWW 2 2、该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否、该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否 仍然有效？仍然有效？各厂商的利润函数为：inkkiiiiiiqqcaqcQaqcqQaCqPu).().(.).(.1 求解：inkkqiqqqcauii).(maxmax1 对其求导，令导数为 0，解得反应函数为： 21 1121niiiqqqqqcaq纳什均衡,必是 n 条
4、反应函数的交点),.,(* 2* 1nqqq).(21* 3* 2* 1nqqqcaq).(21* 3* 1* 2nqqqcaq.)(21* 1* 1* 2* 1* niiiqqqqqcaq).(21* 1* 2* 1* nnqqqcaq得到：，且为唯一的纳什均衡。1.* 2* 1ncaqqqn当趋向于无穷大时博弈分析无效。，此时为完全竞争市场，此时博弈分析01limlim* ncaq nin无效。3 3、问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？、问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？设：边际成本不变，为，。1c2c计算得市场出清价格为：)(100100)(21qqQQP
5、P两个厂商的利润函数为：1211111111).(100).(qqqcqcPqcqPu2212222222).(100).(qqqcqcPqcqPu求解：12111).(100maxmax11qqqcu qq22122).(100maxmax22qqqcu qq对其求导，令导数为 0，解得反应函数为：)100(21)(21211qcqRq)100(21)(12122qcqRq纳什均衡,即（20,30）为两条反应函数的交点),(* 2* 1qq)30100(21201c)20100(21302c得到：，。 301c202c此时：，。4001u9002u4 4、若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博
6、弈的纳什均衡是什么？、若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？设居民选择的养鸭数目为，则总数为iin)5 , 4 , 3 , 2 , 1( i。 51iinN假设： NN 居民的得益函数为：i iiiiiinnncVncnVu).48().(51 计算：i iiuiunnuii).48(maxmax51 得到反应函数：)(212451121nnnnnRniiii5、反应函数的交点是博弈的纳什均衡。),(* 5* 4* 3* 2* 1nnnnn将带入反应函数，得：),(* 5* 4* 3* 2* 1nnnnn。8* 5* 4* 3* 2* 1nnnnn此时：。64iu此时，40N
7、然后讨论下N 若，则，上述博弈成立。40NNN 若，则40N5NN 5 5、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情 状态究竟如何？状态究竟如何？ 矩阵 1： 妻子 活着死了 活着1，1-1，0丈夫 死了0，-10，0矩阵 2： 妻子 活着死了 活着0，01，0丈夫 死了0，10，0矩阵 3： 妻子 活着死了 活着-1，-11，0丈夫 死了0，10，0用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为： 矩阵 1： （活着，活着） （死了，死了）可以看出这对夫妻间感情十分深厚。这对夫妻同生共死，一个 死了，则另一个也选择死去。如果一个死了，一
8、个活着，那么活着 的将生不如死。矩阵 2： （活着，活着） （活着，死了） （死了，活着） 可以看出这对夫妻间感情一般。这对夫妻共同活着没有收益， 一个死了，对于另一个来说反而更好。矩阵 3： （活着，死了） （死了，活着） 可以看出这对夫妻间感情很槽糕。这对夫妻共同活着对双方来 说是生不如死。一个死了，对于另一个来说反而更好。6 6、 （1 1）如果）如果，试求此，试求此121 2( ,)3f e eee2( )(1,2)iic eei博弈的博弈的 NashNash 均衡（即两个个体选择的最优努力程度）均衡（即两个个体选择的最优努力程度） 。（2 2）如果）如果，试求此博，试求此博121 2
9、( ,)4f e eee( )(1,2)iic ee i弈的弈的 NashNash 均衡。均衡。（1）收益为：2 121121123)(),(21eeeeceefu2 221221223)(),(21eeeeceefu得出反应函数为：221143)(eeRe112243)(eeRe纳什均衡为两条反应函数的交点，代入得出：),(* 2* 1ee0, 0* 2* 1ee两个人都不会努力的（2）收益为：12112112)(),(21eeeeceefu22122122)(),(21eeeeceefu分别求偏导：122 11eeu121 22eeu此时，两个人的努力程度都与对方的努力程度有关时，博弈一方
10、越努力，另一方就选择努力程度为)21, 0ie0，此时纳什均衡为（0,0）时，双方收益均达到最大值，此时纳什均衡为21ie)21,21(时，博弈一方越努力，另一方选择努力程度为 1，1 ,21(ie此时纳什均衡为（1,1）第第 2 2 次作业答案次作业答案1 1，（1 1）用扩展型表示这一博弈。）用扩展型表示这一博弈。（2 2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？运用逆向法，由乙先来选择，在两个子博弈中，乙选择红色所示的路径。再由甲选择，在（高档，低档） ， （低档，低档）之间选择。甲选择绿色所 示路径。最终的子博弈完美纳什均衡是（高档，低档） ，双方的收益
11、为 （1000,700）2 2、 （1 1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；同时决策时，两个企业都为了各自利润最大化分别对各自利润求导，并令导数为 00)(21caqpp0)(22bqq解得：，bqcaqp cabb 21 此时，两个企业同时决策的纯策略纳什均衡为企业 1,2 的价格为 ),(bcaq（2 2）企业）企业 1 1 先决策的子博弈完美纳什均衡；先决策的子博弈完美纳什均衡； 企业 1 先决策，则企业 2 会在知道企业 1 的决策后，寻求自身利润最大化 所以：0)(22bqqbq 将带入bq bcabpqcaqp22 1)（0)(21cabppc
12、abp此时，跟同时决策时的纳什均衡相同。cabb 21 企业 1 先决策的子博弈完美纳什均衡为企业 1,2 的价格为),(bcab（3 3）企业企业 2 2 先决策的子博弈完美纳什均衡；先决策的子博弈完美纳什均衡；企业 2 先决策，则企业 1 会在知道企业 2 的决策后，寻求自身利润最大 化所以：0)(22bqqcaqp将带入caqpcaqbqpbq22 2)（0)(22bqqbaq2此时，cabap22cababa4,2221企业 2 先决策的子博弈完美纳什均衡为企业 1,2 的价格为)4,2(2 cababa（4 4）是否存在参数）是否存在参数的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决的特定
13、值或范围，使两个企业都希望自己先决cba,策？策？企业在先决策时得到的利润大于后决策时的利润时，会希望先决策 企业 1 希望先决策：，042 cabcabaabca , 0企业 2 希望先决策：，02bab2, 0aba结论：结论：，2, 0abaabc 3 3、 （1 1）企业）企业 1 1 没有引入新技术没有引入新技术12111)12()qqqqcp （22122)12()qqqqcp （求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为 0021221 11qqq021212 22qqq得到： ， 41q42q16,1621（2 2）企业）企业 1 1 引入新技术引入新技术 fqq
14、qfqcp12111)13()（22122)12()qqqqcp （求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为 0021321 11qqq021212 22qqq得到：，314 1q311 2q此时，317p引入新技术使得企业 1 的利润不少于没有引入新技术前的利润，所以16)(111fqcp得到时，企业 1 会选择引进新技术。952f4 4、 （1）企业 1 的产量，企业 2 以产量进入市场1q2q2113qqp1211)12(qqq 4)12(2212qqq企业 2 后进入市场，则企业 2 会在知道企业 1 的决产量后，寻求自身利 润最大化 所以：021221 22qqq12216qq将带入，得12216qq1211)12(qqq 0)21612(111 11qqqq此时， ， 61q32q5,1821（2）企业 1 的产量，企业 2 以产量进入市场时利润为 0，觉得不进入市1q2q场2113qqp1211)12(qqq 4)12(2212qqq企业 2 后进入市场，则企业 2 会在知道企业 1 的决产量后，寻求自身利 润最大化 所以：021221 22qqq12216qq将带入，得12216qq04)12(2
