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1、第九节 直线与圆锥曲线的位置关系,总纲目录,教材研读,1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断,考点突破,2. 圆锥曲线的弦长,考点二 弦长问题,考点一 直线与圆锥曲线的位置关系,考点三 中点弦问题,教材研读,1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于x(或y)的一元 方程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (1)当a0时,可考虑一元二次方程的判别式,有 (i)0直线与圆锥曲线 相交 ; (ii)=0直线与圆锥曲线 相切 ; (iii)0,b0)的交点个数是 ( ) A.1 B.2 C.1或2 D.0,A,答案 A 因为直线y= x+3与双
2、曲线的渐近线y= x平行,所以它与双 曲线只有1个交点.,3.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直 线的斜率为 ,则 的值为( ) A. B. C. D.,A,答案 A 设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),结合题意, 由点差法 得, =- =- =-1, = .,4.已知椭圆C: + =1(ab0),F( ,0)为其右焦点,过点F且垂直于x轴 的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为 + =1 .,答案 + =1,解析 由题意得 解得 所以椭圆C的方程为 + =1.,5.过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135
3、的直线,交抛物线于A,B两点, 则弦AB的长为 16 .,答案 16,解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),直线AB的倾 斜角为135,故直线AB的方程为y=-x+2,代入抛物线方程y2=8x,得x2-12x+ 4=0,则x1+x2=12,x1x2=4,则|AB|=x1+x2+4=12+4=16.,考点一 直线与圆锥曲线的位置关系,考点突破,典例1 (2017北京顺义二模,19)已知椭圆E: + =1(ab0)经过点,其离心率e= . (1)求椭圆E的方程; (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E相切,切点为T,且l与直线x=-4相交于点S. 试
4、问:在x轴上是否存在一定点,使得以ST为直径的圆恒过该定点?若存 在,求出该点的坐标;若不存在,请说明理由.,解析 (1)因为点 在椭圆上,所以 + =1. 依题意知a=2c,则a2=4c2,b2=3c2, 将代入得c2=1,故a2=4,b2=3. 故椭圆E的标准方程为 + =1. (2)存在.,由 消去y,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. 因为动直线l与椭圆E相切,所以它们有且只有一个公共点T,所以m0且 =0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0, 设T(x0,y0),则x0=- =- ,y0=kx0+m= , 所以点T的坐标为
5、 , 由 得S(-4,-4k+m), 假设在x轴上存在定点满足条件,不妨设定点为点A(x1,0), 则由已知条件知ASAT,即 =0对满足式的m,k恒成立. 易知 =(-4-x1,-4k+m), = , 则 = + +4x1+ - +3=0, 整理得(4x1+4) + +4x1+3=0,因为式对满足式的m,k恒成立,所以 解得x1=-1. 故在x轴上存在定点(-1,0),使得以ST为直径的圆恒过该定点.,方法技巧 直线与圆锥曲线位置关系问题的求解策略 (1)直线与圆锥曲线相交或相离时,可直接联立直线与圆锥曲线的方程, 结合消元后的一元二次方程求解. (2)直线与圆锥曲线相切时,尤其是抛物线与双
6、曲线,要数形结合求解.,1-1 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: + =1(ab0)的左焦点 为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.,解析 (1)由题意得a2-b2=1,b=1,则a= , 椭圆C1的方程为 +y2=1. (2)易得直线l的斜率存在且不为零,则可设l的方程为y=kx+m(k0).,由 消去y,整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,1=16k2m2-8(m2-1)(2k2+1)=16k2+8-8m2=0, 即m2=2k2+1. 由 消去y,整理得k2
7、x2+(2km-4)x+m2=0,2=(2km-4)2-4k2m2=16-16km=0,即km=1, ,由得m= ,代入得 =2k2+1,即2k4+k2-1=0. 令t=k2,则2t2+t-1=0,解得t1= ,t2=-1(舍), 或 直线l的方程为y= x+ 或y=- x- .,典例2 (2017北京石景山一模,19)已知椭圆E: + =1(ab0)过点(0, 1),且离心率为 . (1)求椭圆E的标准方程; (2)设直线l:y= x+m与椭圆E交于A、C两点,以AC为对角线作正方形 ABCD,记直线l与x轴的交点为N,问B、N两点间的距离是否为定值?如果 是,求出定值;如果不是,请说明理由
8、.,考点二 弦长问题,解析 (1)设椭圆的半焦距为c. 因为点(0,1)在椭圆E上,所以b=1,故a2-c2=1, 又因为e= = ,所以c= ,a=2, 所以椭圆E的标准方程为 +y2=1. (2)是定值. 设A(x1,y1),C(x2,y2),线段AC的中点为M(x0,y0).,由 得x2+2mx+2m2-2=0.,由=(2m)2-4(2m2-2)=8-4m20,可得- m .,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2. 所以AC的中点为M , |AC|= = = , 又直线l与x轴的交点N(-2m,0), 所以|MN|= = , 所以|BN|2=|BM|2+|MN|2= |AC|2+
9、|MN|2= . 所以B、N两点间的距离为定值,且定值为 .,方法技巧 弦长的计算方法与技巧 求弦长时可利用弦长公式,根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得 到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代 数式,然后整体代入弦长公式求解. 注意两种特殊情况:(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直;(2)直线过 圆锥曲线的焦点.,2-1 设F1,F2分别是椭圆E:x2+ =1(0b1)的左,右焦点,过F1的直线l与E 相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线l的斜率为1,求b的值.,解析 (1)由椭圆定义知|AF2|+|A
10、B|+|BF2|=4, 又2|AB|=|AF2|+|BF2|,所以|AB|= . (2)l的方程为y=x+c,其中c= . 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则A,B两点坐标满足方程组,化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0. 则x1+x2= ,x1x2= . 因为直线AB的斜率为1, 所以|AB|= |x2-x1|,即 = |x2-x1|.,则 =(x1+x2)2-4x1x2= - = , 因为0b1,所以b= .,典例3 (1)在椭圆 + =1内,通过点M(1,1),且被这点平分的弦所在的 直线方程为 ( ) A.x+4y-5=0 B.x-4y-5=0 C.4x+y-5=0
11、D.4x-y-5=0 (2)若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),直线y=3x+7与椭圆相交所得 弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为 ( ) A. + =1 B. + =1,考点三 中点弦问题,C. + =1 D. + =1,A,D,答案 (1)A (2)D,解析 (1)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则 由-,得 + =0, 因为 所以 =- =- , 所以所求直线方程为y-1=- (x-1),即x+4y-5=0. (2)因为椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),则a2-b2=4,所以可设椭圆方,程为 + =1,联立,得(10b2+4)y2-14(b2+
12、4)y-9b4+13b2+196=0, 设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),由一元二次方程根与系数的关系及题意得y1+y2= =2,解得b2=8. 所以a2=12.则椭圆的方程为 + =1.,方法技巧 处理中点弦问题的常用方法 (1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式 中含有x1+x2,y1+y2, 三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的 斜率,借用中点公式即可求得斜率. (2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程,将其转化为一元二次 方程后由根与系数的关系求解.,3-1 抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A, B两点.若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为 ( ) A.y=2x2 B.y2=2x C.x2=2y D.y2=-2x,答案 B 设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px,则 两式相减可得2p= (y1+y2)=kAB2=2,即可得p=1,抛物线C的方程为y2=2x.,B,
