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1、1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至(t t)时间内的位移为r, 路程为s, 位矢大小的变化量为r ( 或称r),平均速度为,平均速率v为v(1) 根据上述情况,则必有( )(A) r= s = r(B) r s r,当t0 时有dr= ds dr(C) r r s,当t0 时有dr= dr ds(D) r s r,当t0 时有dr= dr = ds(2) 根据上述情况,则必有( )(A) = ,= (B) , vvvvvvvv(C) = , (D) ,= vvvvvvvv分析与解分析与解 (1) 质点在t 至(t t)时间内沿曲线从P 点运动到P点
2、,各量关系如图所示, 其中路程s PP, 位移大小rPP,而r r-r表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)但当t0 时,点P无限趋近P点,则有drds,但却不等于dr故选(B)(2) 由于r s,故,即ts t rvv但由于drds,故,即由此可见,应选(C)ts tdd ddrvv1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)； (2)； (3)； (4)tr ddt dd rts dd22dd dd ty tx下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2
3、)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解分析与解 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速tr dd率通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自t ddr然坐标系中速度大小可用公式计算,在直角坐标系中则可由公式ts ddv求解故选(D)22dd ddty txv1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, a表示切向加速度对下列表达式,即(1)d v /dt a；(2)dr/dt v；(3)ds/dt v；(4)d v /dta下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、
4、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的分析与解分析与解 表示切向加速度a,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速t ddv度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率vr(如题1 -2 所tr dd述)；在自然坐标系中表示质点的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度ts ddt ddva因此只有(3) 式表达是正确的故选(D)1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D)
5、 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解分析与解 加速度的切向分量a起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的至于a是否改变,则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时, a恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a为一不为零的恒量,当a改变时,质点则作一般的变速率圆周运动由此可见,应选(B) *1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动设该人以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v,则小船作( )(A) 匀加速运动,
6、 cos0vv (B) 匀减速运动, cos0vv (C) 变加速运动,cos0vv (D) 变减速运动, cos0vv (E) 匀速直线运动,0vv 分析与解分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质为此建立如图所示 坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为,其中绳长l 随时间t 而变化小船速度,式中表示绳长l 22hlx22ddddhltlltxvtl dd随时间的变化率,其大小即为v0,代入整理后为,方向沿x 轴负向由lhlcos/0220vvv 速度表达式,可判断小船作变加速运动故选(C)讨论讨论 有人会将绳子速率v0按x、y
7、两个方向分解,则小船速度,这样做对吗？cos0vv 1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为,式中x 的单位为m,t 32262ttx的单位为 s求：(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t4 s时质点的速度和加速度 分析 位移和路程是两个完全不同的概念只有当质点作直线运动且运动方向不改变 时,位移的大小才会与路程相等质点在t 时间内的位移x 的大小可直接由运动方程得到：,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移0xxxt的大小和路程就不同了为此,需根据来确定其运动方向改变的时刻tp ,求出0tp
8、和0ddtxtpt 内的位移大小x1 、x2 ,则t 时间内的路程,如图所示,至于t 4.0 s 时21xxs质点速度和加速度可用和两式计算tx dd22dd tx解解 (1) 质点在4.0 s内位移的大小m3204xxx(2) 由 0ddtx得知质点的换向时刻为 (t0不合题意)s2pt则 m0 . 8021xxxm40242xxx所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为m4821xxs(3) t4.0 s时1s0 . 4sm48dd ttxv2s0 . 422 m.s36dd ttxa1 -7 一质点沿x 轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图(a)所示设t0 时,x0试根据已知的v-t
9、 图,画出a-t 图以及x -t 图分析分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中 AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线 运动)加速度为恒量,在a-t 图上是平行于t 轴的直线,由v-t 图中求出各段的斜率,即可作出 a-t 图线又由速度的定义可知,x-t 曲线的斜率为速度的大小因此,匀速直线运动所对应 的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的xt 图为t 的二次曲线根据各段时间内 的运动方程xx(t),求出不同时刻t 的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t 图解解 将曲线分为AB、BC、CD
10、 三个过程,它们对应的加速度值分别为(匀加速直线运动)2sm20ABAB ABttavv(匀速直线运动)0BCa(匀减速直线运动)2sm10CDCD CDttavv根据上述结果即可作出质点的a-t 图图(B)在匀变速直线运动中,有2 021ttxxv由此,可计算在02和46时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作02和46时间内的x -t 图在24时间内, 质点是作的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k20的一段直线图(c)1sm20v1 -8 已知质点的运动方程为,式中r 的单位为m,t 的单位为求：jir)2(22tt(1) 质点的运动轨迹；(2) t 0 及t
11、2时,质点的位矢；(3) 由t 0 到t 2内质点的位移r 和径向增量r； *(4) 2 内质点所走过的路程s分析分析 质点的轨迹方程为y f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到对于r、r、r、s 来说,物理含义不同,可根据其定义计算其中对s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则,最后用积分求22)d()d(dyxsssd解解 (1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为2 412xy这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示(2) 将t 0和t 2分别代入运动方程,可得相应位矢分别为, jr20jir242图(a)中的P、Q 两点,即为t
12、0和t 2时质点所在位置(3) 由位移表达式,得jijirrr24)()(020212yyxx其中位移大小m66. 5)()(22yxr而径向增量m47. 22 02 02 22 202yxyxrrrr*(4) 如图(B)所示,所求s 即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则,由轨道方程可得,代入ds,则2内路程为22)d()d(dyxsxxyd21dm91. 5d4d402xxssQP1 -9 质点的运动方程为23010ttx22015tty式中x,y 的单位为m,t 的单位为试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析分析 由运动方程的分量式可分别求出速度
13、、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向解解 (1) 速度的分量式为ttx x6010ddvtty y4015ddv当t 0 时, vox -10 m-1 , voy 15 m-1 ,则初速度大小为12 02 00sm0 .18yxvvv设vo与x 轴的夹角为,则23tan00xyvv12341(2) 加速度的分量式为, 2sm60ddtax xv2sm40ddtay yv则加速度的大小为222sm1 .72yxaaa设a 与x 轴的夹角为,则32tanxy aa-3341(或32619)1 -10 一升降机以加速度1.22 m-2上升,当上升速度为2.44 m-1时,有一螺丝
14、自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m计算：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离分析分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 y1(t)和y2 y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为2 0121atty v2 0221gtthyv当螺丝落至底面时,有y1 y2 ,即2 02 021 21gtthattvvs705. 02aght(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为m716. 0212 02gttyhdv解解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小ag a,螺丝落至底面时,有2)(210taghs705. 02aght(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为2 021atth
