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1、第 1 页 共 8 页 指数与指数函数2.6 指数与指数函数指数与指数函数一、 【课程要求】 1理解二次根式的概念，掌握根式的运算性质，理解分数指数幂与根式的关系 2掌握指数函数的图像与性质，能利用单调性比较幂的大小，求最值，图像及变换作图 二、 【重点难点】 指数函数的性质，画指数函数的图象知道指数函数是一类重要的函数模型，了解指数函 数模型的实际案例，会用指数函数模型解决简单的实际问题 三、 【命题规律】 本节内容在高考中属于基础知识考查范围，多以填空为主，主要考查指数函数以及由它复合 而成的函数的图像与性质，大多涉及比较大小，奇偶性，过定点，单调区间及利用单调性求最值 等问题。 四、 【
2、知识回顾】 1.根式根式 （1 1）根式的概念：）根式的概念：如果，那么叫做的次实数方根(1)nxa nnN且xan当为奇数时，正数的次实数方根是一个正数正数，负数的次实数方根是一个负数负数，符号：nnnna当为偶数时，正数的次实数方根有两个两个，它们互为相反数相反数，符号：nnna注：0 的次实数方根是 0，负数没有偶次方根n （2 2）两个重要的公式）两个重要的公式 （注意必须使有意义）(0) (0)nna naaaanaa 为奇数为偶数 nnaaana2.有理指数有理指数幂幂（1）整数指数幂的表示）整数指数幂的表示正整数指数幂的定义：()nanaa aa nN 个正整数指数幂运算法则：，
3、mnm naaamnm naaa nmmnaa nnnaba b(0)nnnaabbb零指数幂：010aa负整数指数幂：1(0,)n naanNa（2）分数指数幂的表示）分数指数幂的表示正数的正分数指数幂：(0,1)m nmnaaam nNn第 2 页 共 8 页 指数与指数函数正数的负分数指数幂：11(0,1)m n mnmnaam nNn aa0 的正分数指数幂是 0 0，0 的负分数指数幂无意义 （3 3）有理数指数幂的运算性质：）有理数指数幂的运算性质：(0, ,)rsr saaaar sQ (0, ,)srrsaaar sQ 0,0,rrraba babrQ3.指数函数指数函数函数叫
4、做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是(01)xyaaa且xR4.指数函数的指数函数的图图像和性像和性质质注：指数函数的图像关于轴对称。1(01)x xyayaaa与且y5.指数函数的底数与指数函数的底数与图图像的关系像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则，01cdab 在轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，y 在轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大y 即无论在轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大y 在第一象限内， “底大图高” 6.指数式、指数函数的理解指数式、指数函数的理解 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 根
5、式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式 和函数的基础，应引起重视第 3 页 共 8 页 指数与指数函数 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方 程或方程组来求值 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式” ，像等函数均不符合形式，因此，1 222 3 ,3,21xxxyyxyy01xyaaa且它们都不是指数函数 画指数函数的图像，应抓住三个关键点：xya 11, 0,1 ,1,aa【例题精讲】 考点一：指数式的运算考点一：指数式的运算 例例 1 1.化简下列各式（其中各字母均为正数）（1） （2）2 3111
6、132265()ababa b1211 21333225( 3)(4)6aba bab （3）2 0.520371037(2 )0.1(2)392748 （4）411300.753327(0.064)()2160.018 【 【反思反思归纳归纳】 】根式运算或根式与指数式混合运算时，化简原则是：化根式为分数指数幂，化负指数为 正指数，化小数为分数等。对于计算结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根 据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。【举一反三举一反三】 1.计算：（1）210 310.027217 （2） 311 21 233241 4
7、0.1aba b第 4 页 共 8 页 指数与指数函数考点二：比考点二：比较较数数值值的大小的大小比较大小常用的方法有：做差比较法 做商比较法 函数单调性法 中间值法， 在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况： 1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，直接利用指数函数的单调性来判断。 2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较 ，可利用指数函数的图像来判断。 3)对于底数和指数均不同的两个幂的大小比较，可以利用中间值来比较 4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小， （特别是 0 和 1）进行分组，再 比 较各组的大小。 例例 2 2比较大小（1） （
8、2）31.91.9与330.7.3与0（3） （4）0.33.11.7.9与0111 344333 442，【举一反三举一反三】2.(2007 江苏卷)设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，( )f x1x 1x ，则的大小关系为 。( )31xf x 123( ),( ),( )332fff第 5 页 共 8 页 指数与指数函数考点三：与指数函数有关复合函数的性考点三：与指数函数有关复合函数的性质质1.与指数函数有关的复合函数的定义域与值域（1）函数的定义域与的定义域相同。( )f xya( )yf x（2）先确定的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定的值域( )f x(
9、 )f xya2与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 （1）求复合函数的定义域 （2）弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成的 （3）分层逐一求解函数的单调性。 （4）求出复合函数的单调区间（“同增异减” ） 例例 3 3.求下列函数的单调区间和值域（1） （2）23xxy221(0,1)xxyaaaa【 【反思反思归纳归纳】 】对于简单的复合函数的单调性，应首先弄清所给函数是由哪些基本函数复合而成的， 然后再研究各自区域上的单调性，根据“同增异减”的法则作出判断。【举一反三举一反三】3.3.已知函数在区间上的最大值为 14，求实数的值.2( )21(0,1)xxf xaaaa且11 ，a
10、考点四：指数方程：指数中含有未知数的方程考点四：指数方程：指数中含有未知数的方程主要有型，( )( )f xg xaa( )( )f xg x型，()0xf axta （换元）型，( )f xab( )l()af xog b取对数例 4.解下列方程第 6 页 共 8 页 指数与指数函数（1）解方程 （2）解方程214221216xx 2338xx考点五：指数不等式：指数中含有未知数的不等式，通常把它考点五：指数不等式：指数中含有未知数的不等式，通常把它们变为们变为同底，再运用指数同底，再运用指数函数的函数的单调单调性来性来转转化化为为普通不等化。普通不等化。例例 5 5.求不等式的解集（1）
11、（2）282133xx 725(01)xxxaaaa且考点六：考点六：综综合合应应用用例例 6 6.已知2( )()(01)1xxaf xaaaaa且（1）判断的奇偶性 （2）讨论的单调性( )f x( )f x（3）当时，恒成立，求的取值范围。 1,1x ( )f xbb【反思归纳】 （1）函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题，常以指数函数为载体考查函数的 性质与恒成立问题 （2）求参数的范围也是常考内容，难度不大，但极易造成失分，因此对题目进行认真分析，必 要的过程不可少，这也是高考阅卷中十分强调的问题。例例 7 7.若直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是 2ya1(01)xya
12、aa且a。第 7 页 共 8 页 指数与指数函数例 8.已知，当时，均有，则实数的取值范201,( )xaaf xxa且1,1x 1( )2f x a围是 。练习：1.设，且，则 。25abm112abm 2.（09 江苏，10）已知， 函数，若实数满足，则51 2a( )xf xa,m n( )( )f mf n（比较大小）mn3.（09 北京 13）若，则不等式的解集为 。10( ) 10 3x xf xx 1( )3f x 4.（10 南京调研二 12）定义在 R 上的满足则 ( )f x13(0)( ) (1)(2)(0)xxf x f xf xx (2010)f。5.（10 南京一模
13、 5）若函数在定义域上为奇函数，则= 。( )2 12xxf xk k k6.（南师附中）已知可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，若不( )2,xf xxR( )g x( )h x等式对恒成立，则实数的取值范围是 。( )(2 )0a g xhx1,2xa7.（08 南京一模）已知是定义在 R 上的奇函数，当时，则不等式( )f x0x ( )12xf x 的解集为 。( )1 2f x 8.已知时，有，给出以下命题：( )21,xf xabc当( )( )( )f af cf b0ac，则所有正确的命题的序号是 。0bc222ac220bc9. 设数，则在区间上不是单调函数的充要条件是 。( )3xf x ( )f x1,2mm第 8 页 共 8 页 指数与指数函数10. （09 江苏名校联考）已知满足 2( )1 (0)21(1)xcf xcxxccx 2()9 8f c（1）求常数的值 （2）解不等式c( )218f x
