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1、一、等可能概型,二、典型例题,三、几何概率,四、小结,第四节 等可能概型(古典概型),1. 定义,一、等可能概型(古典概型),设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为:,2. 古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,3. 古典概型的基本模型:摸球模型,(1) 无放回地摸球,问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.,解,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,(2) 有放回地摸球,问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸
2、球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,课堂练习,1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.,2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.,4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型,(1)杯子容量无限,问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.,4个球放到3个杯子的所有放法,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,(2) 每个杯子只能放一个球,问题2 把4个球
3、放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.,解,第1至第4个杯子各放一个球的概率为,2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率.,课堂练习,1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.,解,二、典型例题,在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,例3 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少
4、?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件 “取到的数能被8整除”，则所求概率为,解,于是所求概率为,例4 将 15 名新生(其中3名优秀生)平均地分配到 3个班级中去. 问(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?,解,15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:,(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有,因此所求概率为,(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有,因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有,因此所求概率为,例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有
5、这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周内接待 12 次来访共有,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,例6 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.,64 个人生日各
6、不相同的概率为,故64 个人中至少有2人生日相同的概率为,解,说明,我们利用软件包进行数值计算.,例7 （随机取数）从1，2,10这10个数中 任取1个，假定各个数都以同样的概率被取中，取后放回，先后取出7个数，求下列事件的概率：,（1）7个数完全不相同； （2）不含有1和10； （3）5恰好出现两次； （4）6至少出现两次； （5）取到的最大数恰好为6.,解：设A1,A2, ,A5分别代表5个事件，依题设， 样本空间就是10个相异元素中允许重复的7个元素的排列，样本点总数为107.,定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可能的，则
7、事件 A 的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型.,三、几何概型,那么,两人会面的充要条件为,例8 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( ba )的针,试求 针与某一平行直线相交的概率.,解,蒲丰资料,由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1),利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟.,单击图形播放/暂停 ESC键退出,最简单的随机现象,古典概型,古典概率,几何概型,试验结果 连续无穷,四、小结,蒲丰资料,Born: 7 Sept. 1707 in Montbard, Cte dOr, France Died: 16 Apr. 1788 in Paris, France,Georges Louis Leclerc Comte de Buffon,
