力学-7 应力与应变分析

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1、第七章 应力与应变分析,7-1 一点的应力状态 7-2 平面应力状态分析 7-3 三向应力状态下的最大应力 7-4 任意点的应变及应变分量的坐标变换,第七章 应力与应变分析,7-5 平面应变状态分析 7-6 广义胡克定律 7-7 复杂应力状态下的应变比能 小 结,1一点的应力状态,7-1 一点的应力状态,一、一点的应力状态,受力构件一点处各个不同截面上的应力情况,1)代表一点的应力状态；,2研究应力状态的目的,找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。,二、研究应力状态的方法,单元体法,1单元体,围绕构件内一点截取的微小正六面体。具有以下特点：,2)

2、每个面上的应力均布，应力正负用箭头方向表示；,3)平行面上的应力大小相同、方向相反；,4)三个相互垂直面上的应力已知。,2单元体上的应力分量,1)单元体上的应力分量共有 九个，独立分量有六个；,2)应力分量的角标规定：,第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴；两角标相同时，只用一个角标来表示。例如txy表示x面上平行于y轴的切应力，sx表示x面上平行于x轴的正应力；,3)面的方位用其法线方向表示，例如x面表示法线平行 于x轴的面；,7-1 一点的应力状态,4)切应力互等定理：,5)应力矩阵：,3截取单元体的方法与原则,1)在一点用与三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依 问题和构件形状而

3、定)垂直的平面截取，因其微小， 看成微小正六面体；,2)单元体各个面上的应力已知或可求；,3)几种受力情况下截取单元体方法：,7-1 一点的应力状态,横截面、周向面、直径面各一对，从上表面截取,横截面、周向面、直径面各一对,一对横截面，两对纵截面,7-1 一点的应力状态,7-1 一点的应力状态,1主应力、主单元体、主平面的概念,三、应力状态的分类(按主应力),1)主平面：,单元体上切应力为零的平面,2)主单元体：,各面均为主平面的单元体，主单元体上有三对主平面；,3)主应力：,主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，且s1s2s3。,(找主平面、主单元体和主应力),7-1 一点的应力状态,2

4、应力状态按主应力分类,1)单向应力状态：,只有一个主应力不为零的应力状态；,2)平面应力状态：,有二个主应力为零的应力状态，也称为二向应力状态；,3)三向应力状态：,三个主应力均不为零的应力状态，也称为空间应力状态；,4)单向应力状态又称为简单应力状态；平面和空间应 力状态又称为复杂应力状态。,4)围绕一点至少存在一个主单元体，应力分析的主 要目的就是寻找主单元体和主应力。,7-1 一点的应力状态,7-2 平面应力状态分析,1平面应力状态的表示方法(一般表现形式),一、平面应力状态分析的解析法,平面应力状态一般表现为：单元体上有一对侧面应力为零，而其它四个侧面上应力都平行于应力为零的侧面。,2

5、任意a角斜截面以及与之相垂直斜截面上的应力,1)公式推导,7-2 平面应力状态分析,2)a角斜截面应力公式,由三角变换得,3)a与a +90o斜截面应力公式的矩阵表达式,7-2 平面应力状态分析,坐标转换矩阵,单元体上所绘s、t，数值代表大小，箭头方向代表正负。,4)推导公式时，sx、sy、txy、a 角均假设为正，实际计算时应 代入各参量的正负。,s ：拉为正，压为负；,a ：以x轴正向为起线，逆时针转 至x正向者为正，反之为负；,t ：使微元产生顺时针转动趋势者为正；反之为负。,7-2 平面应力状态分析,3主应力及其方位,1)由主平面定义：,，得：,可求出两个相差90o的a0值，对应两个互

6、相垂直主平面。,2),即主平面上的正应力取得所有方向正应力的极值。,3)主应力大小：,4)由s 、s “、0按代数值大小排序得出：,7-2 平面应力状态分析,5)判断s、s“作用方位(与两个a0如何对应),a)由： 求得一个a0：,b)txy箭头指向第几象限(一、 四)，则s(较大主应力) 在第几象限，即先判断s 大致方位，再判断其与算 得的a0相对应，还是与 a0+90o相对应。,6),7-2 平面应力状态分析,1),4极值切应力,2)极值切应力：,可求出两个相差90o的a1值，对应两个互相垂直的极值切应力方位。,3)极值切应力方位与主应力方位的关系：,极值切应力平面与主平面成45o,7-2

7、 平面应力状态分析,解：1) a=30o斜截面上的应力,2)主应力与主单元体,3)极值切应力,4)讨论并证明：,同一单元体任意垂直平面上的正应力之和为常数。,7-2 平面应力状态分析,3)圆轴扭转时，任意点为纯剪切应力状 态，最大拉、压应力在与轴线成45o 斜截面上，它们数值相等，均等于横 截面上的切应力；,4)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面 上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断；,5)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与 轴线成45o的螺旋面拉断。,解：1) 围绕圆轴外表面一点取单元 体ABCD：,2)求主应力和主单元体,7-2 平面应力状态

8、分析,5主应力迹线,7-2 平面应力状态分析,1)作法,将一点的主拉(压)应力方向延长与相邻横截面相交，再求出交点的主拉(压)应力方向，依次得到一条曲线主拉(压)应力迹线。,2)主应力迹线的特征,同一类主应力迹线不能相交； 两类主应力迹线若相交，则必然正交； 所有主应力迹线与轴线相交的夹角均为45o； 所有主应力迹线与梁的上或下边缘垂直相交； 主应力迹线只反映主应力方向，不反映大小。,1理论依据,二、平面应力状态分析的图解法应力圆,以s、t为坐标轴，则任意a 斜截面上的应力sa、ta为,7-2 平面应力状态分析,2应力圆的绘制,1)选定坐标及比例尺；,2)取x面的两个应力值，定出D(sx ,

9、txy)点，,取y面的两个应力值，定出D(sy , tyx)点；,3)连DD交s 轴于C点，以C为圆心，DD为直径作圆。,7-2 平面应力状态分析,3应力圆的应用,1)点面对应关系：,2)角度对应关系：,应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；,应力圆上半径转过2a，单元体上的面转过a ；,3)转向对应关系：,应力圆上半径的转向与单元体上面的旋向相同；,4)求外法线与x轴夹角为a 斜 截面上的应力，只要以D为 起点，按a 转动方向同向转 过2a 到E点，E点坐标即为 所求应力值。,7-2 平面应力状态分析,5)应力圆确定主平面、主应力,应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t，纵轴坐标最小的G2点为

10、t“，作用面确定方法同主应力。,由主平面上切应力t=0，确定D转过的角度；D转至s轴正向A1点代表s所在主平面，其转过角度为2a0*，转至s轴负向B1点代表s“所在主平面；,6)确定极值切应力及其作用面,7-2 平面应力状态分析,4)作应力圆，并由几何关系算出或由 比例尺量出：,解：一、图解法,1)由竖直面BE上的应力 得到应力圆上的D点：,2)由AB面上的正应力 作直线s：,则应力圆上代表AB面应力的点一定在 该直线上,3)作直线l，使其满足：与s轴正向 逆时针夹角120o，交直线s于D， 交s轴于C，|CD|=|CD|,7-2 平面应力状态分析,解：二、解析法,1)建立坐标系,2)截取微块

11、ABC,由于AC面为主平面，其上切应力为零，则根据切应力互等定理BC面上切应力也为零，只有主应力sy。,3)将AB看成斜截面，求解其 上应力,7-2 平面应力状态分析,解：1) a=30o斜截面上的应力,2)主应力并画出主单元体,3)极值切应力：,7-2 平面应力状态分析,三、几种应力状态的应力圆,1单向拉伸和压缩应力状态,1)单向拉伸,2)单向压缩,圆心C：(s/2,0),D(s/2, s/2) D(s/2, -s/2),极值切应力点：,主应力：,圆心C：(-s/2,0),E(-s/2, s/2) E(-s/2, -s/2),极值切应力点：,主应力：,7-2 平面应力状态分析,2纯剪切应力状

12、态,圆心C：(0,0),D(0, t) D(0, -t),极值切应力点：,主应力：,7-2 平面应力状态分析,3两向均匀压(拉)应力状态,主应力：,两向均匀压(拉)应力状态的应力圆为s轴上的一点。因此其任意方向均为主应力方向，任意平面均为主平面,任意形状平面，只要边界各点承受大小相同垂直作用于边界的力，则其内部任意一点均为两向均匀压(拉)应力状态，同样对于三维构件(如圆球)，就为三向均匀压(拉)应力状态。,7-2 平面应力状态分析,7-3 三向应力状态下的最大应力,1三向面应力状态下的应力圆,一、三向应力状态下的应力圆,1)平行s3斜截面上应力由s1、 s2作出应力圆上的点确定；,2)平行s1

13、斜截面上应力由s2、 s3作出应力圆上的点确定；,3)平行s2斜截面上应力由s1、 s3作出应力圆上的点确定；,2三向应力状态下的最大切应力,4)由弹性力学知，任意斜 截面上的应力点落在阴 影区内。,tmax所在平面与s1和s3 两个主平面夹角为45o。,7-3 三向应力状态下的最大应力,1三向应力状态应力转换,二、三向应力状态下的应力转换及主应力,1)sij、sij分别是老、新坐标系下的应力矩阵；,2)l为新老坐标系的转换矩阵：,lij为新坐标i对老坐标j的方向余弦,3)任意斜截面上的应力：,l1j为斜截面外法线对老坐标j的方向余弦,7-3 三向应力状态下的最大应力,2三向应力状态下的主应力

14、和主轴方向,1)研究方法,2)主应力大小和方向求解,线性代数中求实对称矩阵特征值和特征向量。特征值即为所求主应力，特征向量即为主应力所在方位；,a的三个实根，即为应力矩阵sij的三个主应力，求出a后可求出三个特征向量，即为各主应力所对应的方位。,7-3 三向应力状态下的最大应力,三、例题,A视,解法一：1)已知一个主应力：sz=90MPa。,2)将单元体沿z方向投影，得到平面应力状态：,根据txy方向，s1与x逆时针夹角为31o，s3与x轴夹角121o，均在xoy平面内,最大切应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或-14o。,7-3 三向应力状态下的最大应力,解法二：1)应力状

15、态的矩阵形式为：,2)求解主应力：,展开整理得：,3)主应力方向：,s1=390MPa时有,求解方程，并注意 到 得：,同理，分别求出s2=90MPa、s3=50MPa时的n1、n2、n3，得到：,4)最大切应力及方向 求解同解法一。,转换矩阵：,7-3 三向应力状态下的最大应力,7-4 任意点的应变及应变分量的坐标转换,1平面应变状态：,一、任意点的应变,z方向位移为零。应变仅在x、y平面内产生。,假设直角增大为钝角时的切应变g为正,2推广到三向应变状态,定义切应变分量：,则任意点的应变分量可写成矩阵形式：,二、应变的坐标变换,l与前相同为空间坐标转换矩阵,7-4 任意点的应变及应变分量的坐

16、标转换,7-5 平面应变状态分析,1研究问题：,一、平面应变分析,平面应变状态下，物体内任一点O的应变 分量为ex、ey、gxy，其余应变全为零，求该点在xy平 面内任意方向的应变ex、ey、gxy。,2任意方向应变,1)平面坐标转换矩阵：,代入：,2)展开得,3)分别用ea和ga表示上式中的ex和gxy=-2exy，并进行 三角函数化简，得到,2主应变与主应变方向,1)主应变方向：,由于相似性，可完全借用平面应力分析的结论。,2)主应变大小：,7-5 平面应变状态分析,二、应用举例,1因切应变gxy不宜测量，用应变仪直接测量应变时， 一般先测出在三个a1、a2、a3方向上的线应变ea 1、 ea 2、ea 3，再求得ex、ey、gxy进行计算。,2工程实测中a1、a2、a3取为便于计算的值。例如使 三个应变片的方向分别为a1=0o，a245o，a3=90o， 就得到了45o3直角应变花。,