02第二章自动控制系统的数学模型

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1、第二章 自动控制系统的数学模型4第二章 自动控制系统的数学模型基本内容 重点和难点 典型例题分析 习题一。基本内容1 学习建立系统数学模型的方法；2 熟练掌握传递函数的定义、性质、零点与极点；3 了解非线性数学模型线性化的方法；4 熟练掌握典型环节的数学模型及特点；5 熟练掌握结构图的绘制和等效方法及梅逊公式的应用。掌握这些重点内容的目的是求出系统的传递函数，现将求解系统传递函数的方法图示如下： 工 作 原 理 图 信 号 流 图结 构 图系 统 时 域 响 应 表 达 式 传 递 函 数系 统 微 分 方 程二重点和难点1 数学模型研究一个自动控制系统，除了对系统进行定性分析外，还必须进行定

2、量分析，进而探讨改善系统稳态和动态性能的具体方法。因此首先需要建立其数学模型描述系统运动规律的数学表达式。数学模型有多种形式，如微分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性及状态空间描述等，本章主要介绍三种，即微分方程、传递函数和结构图。2控制系统的动态微分方程式的列写常用的列写系统或环节的动态微分方程式的方法有两种一种是机理分析法，即根据各环节所遵循的物理规律（如力学电磁学运动学热学等）来编写。另一种方法是实验辩识法，即根据实验数据进行整理编写。在实际工作中，这两种方法是相辅相成的，由于机理分析法是基本的常用方法，本章着重讨论这种方法。列写元件微分方程式的步骤可归纳如下：（1）根据元件的工

3、作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；（2）分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；（3）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，即数学模型。一般情况下，应将微分方程写成标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导项均按降幂形式排列。3传递函数自动控制理论学习指导5建立系统数学模型的目的是为了对系统的性能进行分析。利用拉氏变换能把以线性微分方程式描述系统的动态性能的数学模型，转换为在复数域的数学模型传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经

4、典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。(1)定义线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。传递函数一般表达式为 nnmmassabbSRsCG110)(（2）性质 传递函数具有以下性质：传递函数是复变量 的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。 且所有s 系数均为实数。传递函数是系统或元件数学模型的另一种形式，是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式。它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。传递函数与微分方程有相通

5、性。只要把系统或元件微分方程中各阶导数用相应阶次的变量 代替，就很容易求得系统或元件的传递函数。s传递函数 的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应 。)(G)(tg是系统在单位脉冲 输入时的输出响应。此时 ，故有)(tg)(tsR1t=-1 =-1 =-1 )(tgsC)(sG)(对于简单的系统或元件，首先列出它的输出量与输入量的微分方程，求其在零初始条件下的拉氏变换，然后由输出量与输入量的拉氏变换之比，即可求得系统的传递函数。对于较复杂的系统或元件，可以先将其分解成各局部环节，求得环节的传递函数，然后利用本章所介绍的结构图变换法则，计算系统总的传递函数。（3）典型环节自动控制系统是由若干个典型环节

6、有机组合而成的，典型环节的传递函数的一般表达式分别为：比例环节 KsG)(惯性环节 1T第二章 自动控制系统的数学模型6积分环节 TsG1)(微分环节 振荡环节 2221)( nsss 延迟环节 seG4系统结构图及结构图的等效变换和简化 一个复杂的系统结构图，其方框间的连接必然是错综复杂的，为了便于分析和计算，需要将结构图中的一些方框基于“等效”的概念进行重新排列和整理，使复杂的结构图得以简化。由于方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。因此，结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点，将串联、并联和反馈连接的方框合并。在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持不变的原则。 （结构图简化

7、（等效变换）的基本规则略）5系统传递函数自动控制系统在工作过程中，经常会受到两类输入信号的作用，一类是给定的有用输入信号 ，另一类则是阻碍系统进行正常工作的扰动信号 。)(tr )(tn闭环控制系统的典型结构可用图 2-1 表示。)(1sG)(2sG)(sH)(sN)(sC)(sR)(sB)(sE)(1sG)(2sG)(sH)(sC)(sR)(sB)(sE )(1sG)(2s)(sH)(sC)(sN图 2-1 闭环控制系统的典型结构图 图 2-2 作用下的系统结构图 tr图 2-3 作用下的系统结构图)(tn研究系统输出量 的变化规律，只考虑 的作用是不完全的，往往还需要考虑)(tc)(tr的

8、影响。基于系统分析的需要，下面介绍一些传递函数的概念。)(t（1）系统开环传递函数系统的开环传递函数，是用根轨迹法和频率法分析系统的主要数学模型。在图 2-1 中，将反馈环节 的输出端断开，则前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积)(sH自动控制理论学习指导7称为系统的开环传递函数。相当于 。)()(21sHGs )(sEB（2）系统闭环传递函数 作用下的系统闭环传递函数 )(tr令 ，图 2-1 简化为图 2-2，输出 对输入 的传递函数为 0n )(tc)(tr)()(1)(2sHGssRC称 为 作用下的系统闭环传递函数。 )(str 作用下的系统闭环传递函数n为了研究扰动对系统的影响

9、，需要求出 对 的传递函数。)(tcn令 ，图 2-1 转化为图 2-3，由图可得 0)(tr )()(1)(2sHGssNCn称 为 作用下的系统闭环传递函数。)(snt系统的总输出当给定输入和扰动输入同时作用于系统时，根据线性叠加原理，线性系统的总输出应为各输入信号引起的输出之总和。因此有)()(1)()(1)()()( 22 sHGsNsHGsRsNsRsCn （3）闭环系统的误差传递函数误差大小直接反映了系统的控制精度。在此定义误差为给定信号与反馈信号之差，即 )()(sBRsE 作用下闭环系统的给定误差传递函数)(tr e令 ，则可由图 2-1 求得0n )()()(sCHss第二章

10、 自动控制系统的数学模型8)()(1)(1)()( 2sHGssRCHsRsEe 作用下闭环系统的扰动误差传递函数tn en取 ，则可由图 2-1 求得0)(r )()(sCsBE)()(1)()( 2sHGssNHsen 系统的总误差根据叠加原理，系统的总误差为 )()()( ssRsEene对比上面导出的四个传递函数 、 、 和 的表达式，可以看出，)(en表达式虽然各不相同，但其分母却完全相同，均为 ，这是闭环控制12sHGs系统的本质特征。称 为系统的特征方程式。0)()(12sHGs6信号流图与梅逊公式控制系统的信号流图与结构图一样都是描述系统各环节之间信号传递关系的数学图形。利用梅

11、逊公式可以直接求出任意两个变量之间的传递函数，而不需要进行化简。但是，信号流图只适用于线性系统，而结构图不仅适用于线性系统，还可用于非线性系统。梅逊公式： kNP1式中 前向通道的条数N信号流图的特征式，即mLL)(132所有不同回环传输之和；L所有每两个互不接触回环传输乘积之和；2所有每三个互不接触回环传输乘积之和；3任意 个互不接触回环传输乘积之和；m第 条前向通道的传输；kP余子式，即与第 条前向通道不接触部分的 值（在 中去掉与第 条前kk向通道接触部分，包括有公共节点部分） 。本章难点自动控制理论学习指导9（1）用综合基础知识（如机械电气热力液压气动等方面的基本定律）建立正确的微分方

12、程；（2）建立系统的结构图或信号流图；（3）系统结构图的等效变换的灵活运用；梅逊公式的应用。三典型例题分析例 2-1 列写图 2-4 所示 网络的微分方程。RLCLrucuiC图 2-4 网络RL解: 1.明确输入量、输出量网络的输入量为电压 ，输出量为电压 。)(tur )(tuc2.列出原始微分方程式。根据电路理论得)(1)()( tRidtiCtdiLtr而 uc式中 为网络电流，是除输入量、输出量之外的中间变量。)(ti3.消去中间变量,整理得)()()(2 tutdtuRCdtLrccc 显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图 2-4 所示 无源网络的数学模型。RLC例 2-2 试

13、列写图 2-5 所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压为输入量，电动机转速 为输出量。图中 、 分别是电)(Vtua )(tmsrad)(a)(HLa枢电路的电阻和电感， 是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。cMN第二章 自动控制系统的数学模型10aRaLauaiaEM _ fi 负载 mfJm图 2-5 电枢控制直流电动机原理图解：控制直流电动机是控制系统中常用的执行机构或控制对象，其工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压 在电枢回路中产生电枢电流 ，)(tua )(tia再由电流 与激磁磁通相互作用产生电磁转矩 ，从而拖动负载运动。因此直流)(ti

14、a Mm电动机的运动方程可以由以下三部分组成。1电枢回路电压平衡方程：aaaEtiRdtiLtu)()()(（2-1）式中 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速)(VEa成正比，方向与电枢电压 相反，即 是反电势系数。)(tua )(tCEmea)sradV2电磁转矩方程：)()(titMam（2-2）式中 是电动机转矩系数， 是电枢电流产生的电磁转矩。mC)(AN )(tN3电动机轴上的转矩平衡方程：)()()( tMttfdtJcmmm（2-3）式中 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数，mf)(sradN mJ是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量

15、。)2skg由式（2-1） 、式（2-2）和式（2-3）中消去中间变量 、 及 便可得到)(tiaaE)(tMm自动控制理论学习指导11以 为输出量，以 为输入量的直流电动机微分方程为)(tm)(tua)()()()()(2 tMRdtLtuCtCftJfdtJL cacam memaa (2-4)在工程应用中，由于电枢电路电感 较小，通常忽略不计，因而式（2-4）可简化为a)()()(21tKtutdtTcamm（2-5）式中 是电动机机电时间常数（s） ，)(eamCfRJT， 是电动机传递系数。1CK)(2emaCfRK如果电枢电阻 和电动机的转动惯量 都很小而忽略不计时，式（2-5）还可进一aJ步简化为)(tutame（2-