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1、第5章 弹性力学平面问题,平面问题和应力函数,一、平面应力问题和平面应变问题,平面应力问题：,平面应变问题：,z xz zy 0 x , y , xy(x,y),构件特征：,受力特点：,应力分量：,应变分量：,位移分量：,平行于板面，板面上无载荷,载荷与 z 轴垂直沿 z 轴不变,yx zx 0 x , y , xy (x,y); z,z yx zx 0 x , y , xy (x,y),u (x,y), v (x,y); w,u (x,y), v (x,y); w=0,x , y , xy(x,y) xz zy0,zm(x+ y ),一. 平面应力问题,简化为图示等厚度板受载情况-平行于板面
2、且沿板厚均匀分布 前后板面没有载荷；此种情况即属平面应力问题。,5.1、 5.2 平面应力与平面应变问题,2.平面应力问题的特征,1.引例：,墙壁、座舱隔板等,薄板如图：厚度为t,以薄板的中面为xy面,以垂直于中面的任一直线为z轴,建立坐标系如图所示。因板面上（z=t/2）不受力，所以有：,根据剪应力互等定理可知,所以,在薄板中只剩下平行于x、y面的三个应力分量，即：,此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图,二. 平面应变问题,简化为等长度很长的截面柱体, 载荷垂直于长度方向，且沿长度方向不变作为无限长柱体看待。,3.平面应力问题的定义,对于仅有平行于xy面的三个应力分量的均质薄板类问题
3、，就称为平面应力问题。,1.引例:,水坝、隧洞等,平面应变问题,48,2. 平面应变问题的特征,(1)位移分量,对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对称截面，而对称截面上的各点是不能产生沿Z向的位移的，因此,对任一截面都应有：,(2)应变分量,(3) 应力分量,对于平面应变问体,真正独立的应力分量只有三个。,3.平面应变问题的定义,对于无限长柱体， 所有的应变与位移都发生xoy面内，就称为平面应力问题。这类问题称为平面应变问题,平面应变,平面应力,平面应力问题的基本假设：,平面应变问题的基本假设：,平面问题和应力函数,一、平面应力问题和平面应变问题,平面应力问题：,平面应变问题：,z xz
4、zy 0 x , y , xy(x,y),构件特征：,受力特点：,应力分量：,应变分量：,位移分量：,平行于板面，板面上无载荷,载荷与 z 轴垂直沿 z 轴不变,yx zx 0 x , y , xy (x,y); z,z yx zx 0 x , y , xy (x,y),u (x,y), v (x,y); w,u (x,y), v (x,y); w=0,x , y , xy(x,y) xz zy0,zm(x+ y ),弹性力学问题的基本方程,空间问题的基本方程,平衡微分方程,几何方程,物理方程（广义虎克定律）,应变协调方程（相容方程）：,平衡方程,二、平面问题的基本方程,几何方程：,物理方程,
5、平面应变问题：,协调方程（相容方程）,平面应变问题的物理方程：,式中：,同理：,于是平面应变问题的物理方程为：,比较平面应力问题的物理方程：,对于平面应力问题，由P45的（e）式：,得：,或：,对于平面应变问题，令上式中的,即得：,如果体积力为零或常量，则(5-6)、(5-8)可统一写为,5.3 平面问题的应力函数：,若不计体积力，有,要从上面的3个方程解出3个应力（当然还需要加上相应的边界条件）。,假设,则两个平衡方程恒满足。这时变形协调方程为,（a）,（b）,式中U=U(x, y) 称为Airy应力函数。,于是从(b)式求出应力函数U，代人(a)式即可求得3个应力。,(b)为双调和方程。,
6、1.逆解法：就是先设定满足相容方程的应力函数,一.逆解法和半逆解法、多项式解答,求出应力分量，再根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上这些应力分量对应的面力，从而知道所设的应力函数可以解决什么问题。,然后根据,5.4 应力函数法解直角坐标系下的平面问题,2.半逆解法 半逆解法针对求解的问题根据弹性体的边界条件形状和受力情况，假定部分或全部应力分量为某种函数，将原来的偏微分方程化为常微分方程，推出应力函数的全部表达式，试解该方程，如果各方面的条件都能满足，就得到了正确的解答，否则，就要另作假设，重新考虑。,逆解法的用途十分有限，半逆解法是弹性力学基本方程的主要方法，其中的关键是如何根据问题
7、的特点确定应力函数的形式，如对称性，量纲等，对于梁类问题可根据材料力学的知识确定。, 2 2U = 0 为四阶偏微分方程，直接求解比较困难，故常用逆解法和半逆解法。,逆解法：,设定j (x,y) 满足 4 = 0,半逆解法：,面力,解决的问题,解决的问题 边界形状 受力情况,j (x,y),4 = 0 边界条件,正确解答,设定,边界条件,（不计体力）,不论弹性体何种形状，不论坐标轴如何选择，线性应力函数对应于无面力、无应力的状态。 在应力函数中加上或减去一个线性函数并不影响应力。,满足 2 2U = 0,矩形板在 y 方向受均匀拉伸（压缩）。,满足 2 2U = 0,边界条件：,左右边界：,上
8、下边界：,矩形板在 x 方向受均匀拉伸（压缩）。,满足 2 2U = 0,边界条件：,左右边界：,上下边界：,矩形板在 四周受布剪应力作用。,满足 2 2U = 0,边界条件：,左右边界：,上下边界：,矩形板受纯弯曲作用。,满足 2 2U = 0,左边界：,上下边界：,右边界：,同一应力函数在不同的坐标系中解决的问题也不同。,材料力学：,例3：图示悬臂矩形截面梁，受集中力作用，试求应力分量和位移分量。,解： （一）确定应力函数：,（ch, hl）,（二）应力分量：,（三）利用边界条件确定待定系数：,（四）应变分量：,（五）位移分量：,将上面的两式代入,要使上式成立，必须：,同时有：,积分（g）式得到,于是,
