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1、第七章 图论,引言7.1 图的基本概念7.2 路与连通7.3 图的矩阵表示7.4 最短路径问题7.5 图的匹配8.1 Euler图和Hamilton图8.2 树8.3 生成树 8.4 平面图,7.3 图的矩阵表示,图的矩阵表示 图的数学抽象是三元组，其形象直观的表示即图的图形表示。为便于计算，特别为便于用计算机处理图，下面介绍图的第三种表示方法图的矩阵表示。利用矩阵的运算还可以了解到它的一些有关性质。,内容：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵。,重点：1、有向图，无向图的关联矩阵，,2、有向图的邻接矩阵。,了解：有向图的可达矩阵。,7.3.1 图的矩阵表示,邻接矩阵,存储原则: 存储结点集和边集的信
2、息.,（1）存储结点集；（2）存储边集： 存储每两个结点是否有关系。,7.3.1 邻接矩阵,1.无向图的邻接矩阵,定义 1.6.2设 的顶点集为 ，用 表示 中顶点 与 之间的边数。称矩阵 为 的邻接矩阵。,从图的邻接矩阵的定义容易得出以下性质： 是一个对称矩阵；若 为无环图。则 中第 行(列)的元素之和等于顶点 的度数；(3) 两个图 与 同构的充要条件是存在一个置换矩阵 ，使得 。,对应的邻接矩阵,例2下图所示 的邻接矩阵为：,A(G),A(G),A(G),A(G),A(G),A(G),相当于将单位矩阵中相应的行与行，或者列与列互换的矩阵,7.3.1 邻接矩阵,同构图判别定理：图G1 ，G
3、2同构的充要条件是：存在置换矩阵P，使得：A1PA2P。 其中A1，A2分别是G1 ，G2的邻接矩阵。如何判断两图同构是图论中一个困难问题,7.3.1 邻接矩阵,在邻接矩阵A的幂A2， A3， 矩阵中， 每个元素有特定的含义。定理 :设G是具有n个结点集v1， v2， ， vn 的图， 其邻接矩阵为A， 则Al（l1， 2， ）的（i， j）项元素a(l)ij是从vi到vj的长度等于l的路的总数。 证明 : 归纳法 当l1时， A1A， 由A的定义， 定理显然成立。 若lk时定理成立， 则当lk1时， A k+1 A Ak ，,所以,aij (1)等于G中联结vi与vj的长度为1的路径条数。,
4、n aij (l+1) = aik akj (l) k=1,vk,vi,vj,长度=1,长度=l,共akj (l)条,7.3.1 邻接矩阵,结论： (1) 如果对l1， 2， ， n-1， Al的（i， j）项元素（ij）都为零， 那么vi和vj之间无任何路相连接， 即vi和vj不连通。 因此， vi和vj必属于G的不同的连通分支。 (2) 结点vi 到vj （ij）间的距离d（vi， vj）是使Al（l1， 2， ， n-1 ）的（i， j）项元素不为零的最小整数l。 (3) Al的（i， i）项元素a(l)ii表示开始并结束于vi长度为l的回路的数目。,7.3.1 邻接矩阵,例1 图G（V
5、， E）的图形如图， 求邻接矩阵A和A2， A3， A4， 并分析其元素的图论意义。解,7.3.1 邻接矩阵,(1) 由A中a(1)121知， v1和v2是邻接的； 由A3中a(3)122知， v1到v2长度为3的路有两条， 从图中可看出是v1 v2 v1 v2和v1 v2 v3 v2 。 (2) 由A2的主对角线上元素知， 每个结点都有长度为的回路， 其中结点v2有两条： v2 v1 v2和v2 v3 v2 ， 其余结点只有一条。 (3) 由于A3的主对角线上元素全为零， 所以G中没有长度为的回路。 (4) 由于a（）34a（）34a（）34a（）34， 所以结点v3和v4间无路， 它们属于
6、不同的连通分支。 (5) d（v1， v3）。 对其他元素读者自己可以找出它的意义。,7.3.1 邻接矩阵,设图，如下图所示,讨论（1）图G的邻接矩阵中的元素为0和1，又称为布尔矩阵；（2）图G的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的，进行行和行、列和列的交换，则得到相同矩阵。若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵，若对某一矩阵进行行和行、列和列之间的交换后得到和另一矩阵相同的矩阵，则此二图同构。（3）当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是关系矩阵；（4）零图的邻接矩阵称为零矩阵，即矩阵中的所有元素均为0；（5）在图的邻接矩阵中， 行中1的个数就是行中相应结点的引出次数 列中1的个数就
7、是列中相应结点的引入次数,7.3.1 邻接矩阵,矩阵的计算：,主对角线上的数表示结点i（或j）的引出次数。,主对角线上的数表示结点i（或j）的引入次数。,7.3.1 邻接矩阵,表示i和j之间具有长度为2的通路数，表示i和j之间具有长度为3的通路数，表示i和j之间具有长度为4的通路数，,7.3.1 邻接矩阵,bij表示从结点vi到vj有长度分别为1，2，3，4的不同通路总数。此时， bij0，表示从vi到vj是可达的。,7.3.1 邻接矩阵,2.有向图的邻接矩阵,7.3.1 图的矩阵表示,有向图的邻接矩阵,7.3.2 邻接矩阵,例1,解：,7.3.2 关联矩阵,关联矩阵多用于简单无向图无向图的关
8、联矩阵,一个图 由它的顶点与边的关联关系唯一确定；,定义 1.6.1 设 的顶点集和边集分别为 ， 。用 表示顶点 与边 关联的次数(0，1或2)，称矩阵 为 的关联矩阵。,7.3.2 关联矩阵,例1,下图所示 的关联矩阵为：,对应的关联矩阵,从图的关联矩阵的定义容易得出以下性质： 的每一列元素之和均为2； 的每一行元素之和等于对应顶点的度数。若某行元素全为0，则对应的顶点为孤立点。重边所对应的列完全相同。,=,7.3.2 关联矩阵,有向图的关联矩阵,其中,7.3.2 关联矩阵,例2,解：,A(D),A(D),7.3.3 有向图的可达性矩阵,有向图的可达性矩阵。(了解),可达性矩阵,7.3.3 有向图的可达性矩阵,根据可达性矩阵， 可知图中任意两个结点之间是否至少存在一条路以及是否存在回路。利用有向图的邻接矩阵A， 分以下两步可得到可达性矩阵。(1) 令BnAA2An, (2) 将矩阵n中不为零的元素均改为， 为零的元素不变， 所得的矩阵P就是可达性矩阵。 当n很大时， 这种求可达性矩阵的方法就很复杂。,
