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1、第35卷第4期 2Ol4年 物 理教 师 PHYSICS TEACHER V0【35 NO4 (2O14) 品析类比方法在2013年高考解题中的应用 许冬保 (江西省九江第一中学,江西九江332000) * 摘 要:本文以2013年高考试题为例,品析模型类比、因果类比、等效类比和协变类比等4种类比方法在物理解 题中的应用,并指出类比推理是一种或然性推理,其结论具有某种猜测性,解题中谨防随意滥用 关键词:模型类比;因果类比;等效类比;协变类比 类比是根据两个或两类对象某些属性相同或相似,推 出它们在另外的属性上也相同或相似的思维方法德国天 文学家、哲学家康德指出:“每当理智缺乏可靠论证的思路 时
2、,类比这个方法往往指引我们前进”类比作为一种创造 性的思维方法,在物理学中有着非常重要的作用下面以 2013年高考试题为例,品析模型类比、因果类比、等效类比 和协变类比等4种类比方法在解题中的应用 1模型类比 模型类比是根据模型和原型客体之间具有相同或相 似的关系而进行的类比推理其基本模式为:已知对象中 具有属性“、b、 d;待研究对象与已知对象相同或相 似,则待研究对象具有属性“ 、b 、f 、d lI 例1(上海物理卷第23题) 如图l所示,在半径为25 m的 光滑圆环上切下一小段圆弧,放 置于竖直平面内,两端点距最低 点高度差H为l cm将小环置于 圆弧端点并从静止释放,小环运 动到最低
3、点所需的最短时间为 图1 s,在最低点处的 加速度为 m s。(取g一10 ms。) 分析:小环在圆弧上的运动是平面曲线运动,其加速 度大小及方向均在变化,无法用动力学的方法求解已知 圆弧两端点距最低点高度差H为1 cm,远远小于圆弧的 半径R一25 m分析小环的运动,发现其运动情况及受力 情况与单摆相同因此,小环的运动可类比单摆的简谐运 动圆弧半径类比单摆的摆长,圆弧之圆心类比单摆悬点 由此可知,小环运动到最低点所需的最短时间为其振动周 1 1,百 期的,即f:2 7r :0785 s小环在最低点的加 g 2 速度为向心加速度,即n= 由机械能守恒定律可得,小 、 环到达最低点处的速度 gH
4、: 1 m ,联立解得“= 一 008 m 点评:单摆及其简谐运动是理想化的物理模型,通过 对小环的受力及运动情况的分析,得知其特征与单摆简谐 运动模型相同通过模型类比,令人一筹莫展的问题便迎 刃而解了 2 因果类比 因果类比是依据两个对象(或两类对象)的相似特性, 推断其各自属性之间可能具有相同的因果关系而进行的 类比推理其基本模式为:已知对象中,属性“、6、r与属性 d有因果关系,待研究对象中,属性“ 、b 、c 与n、6、f相同 或相似,则待研究对象中可能有属性 ,且d 与 相同或 相似,并且a 、b 、c 属性与d 属性有因果关系 例2(北京理综卷第l8题)某原子电离后其核外只有 1个
5、电子,若该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周 运动,那么电子运动 (A)半径越大,加速度越大 (B)半径越小,周期越大 (C)半径越大,角速度越小 (D)半径越小,线速度越小 分析:行星绕太阳运动是我们熟知的模型设行星与 太阳质量分别为 、M,两者相距为r,行星运动速度为 , 由牛顿运动定律有,G 一 ,解得 : 。C,专 r r I 考察电子的运动和行星的运动,得知电子的绕核运动与行 星绕太阳的运动相似由因果类比知,电子绕核运动的线 速度亦有关系vOCr专周期、角速度及加速度可同样类比 得到相应的结论正确选项为(C) 点评:万有引力和库仑力在数学表达形式上相似,比 较行星和电子的运动,两者
6、属性比较如表1所示 表1 行星绕太阳的运动 电子绕原子核的运动 太阳(M)、行星(m)系统 原子核(Q)、电子( )系统 行星绕太阳轨道半径(r) 电子绕原子核轨道半径(r) 万有引力提供向心力 库仑力提供向心力 FG F一 r r 行星运动的动能 电子运动的动能 一 GMm : *基金项目:本文系中国教育学会物理教学专业委员会201 3年一2o1 6年全国物理教育科研重点课题“习题教学与物理科学方法教 育的研究” 一69 Vo135 NO4 (2014) 物 理 教 师 PHYSICS TEACHER 第35卷第4期 2014年 续表 行星绕太阳的运动 电子绕原子核的运动 系统引力势能 系统
7、电势能 E 一GMm E 一一 r 运动周期(T)与 运动周期(T)与 半径(r)的关系 半径(r)的关系 : :常量 芸一 ;常量 4 7c ” 丁2 4 3等效类比 等效类比是根据两个或两类对象属性之间在某些方 面的等效关系进行的类比推理其基本模式为:已知对象 中属性a、b、C、d;待研究对象中,属性n 、b 、C 与n、b、C具 有等效关系,则待研究对象中属性d 与d也具有等效 关系 例3(安徽理综卷第2O 题)如图2所示,-rOy平面是 无穷大导体的表面,该导体 充满20的空 间为真空将电荷量为(f的点 电荷置于:轴上。一h处,则 图2 在 () 平面上会产生感应电荷空间任意一点处的电
8、场皆 是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的已知 静电平衡时导体内部场强处处为0,则在 轴上 一等处 的场强大小为(七为静电力常量) (A)女 (B) (c) (D) 分析:无穷大导体的表面由于静电感应而产生感应电 荷达到静电平衡时表面为等势面且电势处处为0在 ()的空问分布的电场线一定与平板表面垂直,点电荷与 平板上的感应电荷的电场分布如图3所示(假设点电荷为 正电荷,点电荷为负电荷不影响结果分析)该电场分布与 两个等量的异种点电荷的电场分布(如图4上半部)无异, 且两点电荷连线中垂面的电势为0由等效类比知,在 轴 上z一号处的场强大小为E: + 选项(D)正确 图3 图4 点评:著名
9、美国数学教育家波利亚指出:“观察未知 一7O一 量,并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的 题目”平板上感应电荷产生的电场较为复杂,通过等效类 比,将问题变换为熟悉的情景(点电荷电场),从而化难为 易、化繁为简 4协变类比 协变类比即数学类比,它是根据两个(或两类)对象可 能具有属性之间的某种协变关系(定量的函数关系)而进 行的类比推理物理解题中常见的一种形式是,由两个对 象的主要属性相同或相似,推论出他们的数学形式相同或 相似其基本模式为:已知对象具有“、6、c属性,且对“有 , ( )一0;待研究对象具有cc 、b 、C 属性,且 、b 、f 与、 6、 分别相同或相似,则待研究对
10、象可能也具有方程式 厂。(z )一0,且(z,)一0与 ( )一0在形式上相同或 相似:; 例4(北京理综卷第23题)蹦床比赛分成预备运动和 比赛动作最初,运动员静止站在蹦床上;在预备运动阶 段,他经过若干次蹦跳,逐渐增加上升高度,最终达到完成 比赛动作所需的高度;此后,进入比赛动作阶段 把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧,弹力大小F kxCr为床面下沉的距离,k为常量)质量m一50 kg的运 动员静止站在蹦床上,床面下沉 。一010 m;在预备运动 中,假定运动员所做的总功w全部用于增加其机械能;在 比赛动作中,把该运动员视作质点,其每次离开床面做竖 直上抛运动的腾空时间均为At 20 S,设
11、运动员每次落下 使床面压缩的最大深度均为 。取重力加速度譬一10 ms , 忽略空气阻力的影响 (1)求常量k,并画出弹力F随 变化的示意图; (2)求在比赛动作中,运动员离开床面后上升的最大 高度h ; (3)借助F 图像可以确定弹力做功的规律,在此 基础上,求 ,和w的值 分析:(1)运动员受力平衡 mg一 z。解得 一50l0。Nm Fz图线如图5所示 (2)运动员从 一0处离开床 面,开始腾空,其上升、下落时间相 等,得高度h 一50 m (3)类比由速度一时间图像求位 图5 移的方法,Fz图线与坐标轴所围成的面积表示弹力做的 1 功从rt处到 一0,弹力做功,w 一点 因此,运动员
12、1 从 t处上升到最大高度h 的过程,有去_ :mg( + h )解得 一11 m由题设条件及质点系动能定理,有 1 W=mg(h + )一kx。,解得 2510。J 点评:该题通过类比运动学速度图像中的面积求位移 的方法,推理得到Fz图像中通过面积获得弹簧弹力所 1 做的功w: 质点的直线运动规律与力作用的功量 两者属性比较如表2所示 (下转封三) 综L,狼跑过14圆后被猎犬追上 猎犬追狼问题足高中物理竞赛的一个经典例题该题 钉很多解法,但有的解法比较繁琐高中学生 易理解,有 的解法看似简洁却不够严密用极坐标解决本题,思路清 晰,过程简洁,体现出极坐标系在解决平面追击类问题的 优势 例6如图
13、l2所示,在外接圆半径为R的正方形 ABCD的4个顶点分别站有一个人,这4个人同时以相同 的速率运动 此过程中,从A点出发者的速度始终指向 从B点出发者,从B点出发者的速度始终指向从( 点出发 者,从(、点fj发者的速度始终指向从D点出发者,从D点 出发者的速度始终指向从A点出发者试求4个人的运动 轨迹 图1 2 图13 解析:如图13所示,在某一时刻,从A、B、C、D 4点出 发的人分别运动到A 、B 、( 、D 点根据对称性可知,四边 形A B ( D 为正方形以OA为极轴建立坐标系,则A 点 的极坐标为(r, )没从A点出发的运动者运动到A 点时 0 的速度为 (矢径到速度 方向的角度为
14、竿),径向速度为 0 n, ,横向速度为u ,则tan-5-一 ,得 一 将 一 , 一r警代入 j二式并化简,得 一一d 对上式积分,得rCc,其中C为积分常数 将初始条件代人上式得r=Re 由上式可以看出,从A点出发的人的轨迹为一对数螺 线根据对称性,其他3个人的运动轨迹也为同样的对数 螺线 例5中物体是从极点出发,例6中物体是最终到达极 点,两个都是平面内追击问题此问题初看起来好像无法 下手,然而利用极坐标系中径向速度与横向速度的大小关 系,不仅可以十分方便地解决此问题,而且物理图像特别 清晰实际上我们可以将此问题中的正方形推广到F”边 形的情况下,运动者的轨迹为rRe(“ 音) ,其中
15、R为正 ”边形的外接圆半径 4结语 上面6道例题是物理竞赛中的常见题型,题Lf1物体的 共同点都绕着某个固定点运动,应用极坐标系是解决此类 问题的系统方案最新全国中学生物理竞赛内容提要 (2013年开始实行)已经明确将极坐标纳入考试范围,可见 其重要性和基础性除了增加极坐标系之外,内容提要还 增加了初等函数的微分和积分,这是非常必要的没有 微积分的相关数学基础就无法真正应用极坐标系 参考文献: 1漆安慎,杜婵英力学M北京:高等教育出版社,】999 2程稼夫中学奥林匹克竞赛物理教程(力学篇)M合肥:中国 科学技术大学出版社,2012 3舒幼生物理学难题集萃(增订本)M北京:高等教育出版 社,1 999 4钟小平高中物理竞赛解题方法(力学部分)M杭州:浙江大 学出版社,2007 (收稿日期:20131214) (上接第7O页) 表2 匀速直线运动中的位移 恒力作用下的功 一vt WF 初速为0的匀变速直线运动 均匀变化(空间)的力 fI的速度 一“f F一 初速为0的匀变速直线运动 均匀变化(空间)的力所 1 做的功w一 z 中的位移 一n 力一位移图像中 面积表示功 , 0 f D 类比方法虽然在科学研究及物理解题中起着非常重 要的作用,但是,他也有一定的局限性类比推理是由特殊 到特殊或由一般到一般的推理,是或然性推理(完全归纳 推理除外),