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1、第十二章 能量法解静不定问题,三、力法正则方程解静不定问题,一、概述,四、利用对称性解静不定问题,二、用莫尔积分法解一次静不定问题,解超静定问题的步骤：,1、判断是静定问题还是超静定问题,2、判断超静定次数,3、选静定基,4、变形协调方程找补充方程,（1）位移比较法列变形协调方程; （2）用莫尔积分法列变形协调方程； （3）用力法正则方程列变形协调方程。,能量法,几何法,一、概述,（1）几何不变结构,几何不变体：结构只有因变形而引起的位移，没有刚体位移。,A,B,1、判断是静定问题还是超静定问题,几何可变体：能发生刚体位移的结构。,静定结构：将几何不变体去掉任何一个约束后成为几何可变体，则 该
2、结构为静定结构。 静定结构的所有约束均为维持几何不变所必须。 对于平面结构维持其几何不变所必须约束是3个。 静定问题：由静平衡方程可确定出全部未知力的问题。,静不定结构：将几何不变体去掉某个约束后仍为几何不变体，则该结 构为静不定结构。 静不定结构有多于维持几何不变所必须的约束。,A,B,A,B,超静定问题（静不定结构）：未知力个数多于独立的平衡方程数。,超静定问题：只凭静平衡方程不能确定出全部未知力的问题。,2、判断超静定次数,超静定次数未知力个数 - 独立的平衡方程式数,（1）多余外部约束外力静不定问题,P,多余内部约束结构的特点：平衡方程可以求出所有反力， 但不能求出所有内力。,（2）多
3、余内部约束内力静不定问题,一次静不定,（3）内力和外力的混合静不定问题,3、选静定基解除多余约束，用多余约束反力代替。,（1）去掉一个可动铰或切断一根二力杆，相当 于解除一个多余约束。,解除静不定结构的某些多余约束后得到的静定结构为原结构的静定基本结构，简称：静定基。,（2）去掉一个转动的约束，相当于解除一个多余约束。 即将受弯杆件某处改为铰接或将固定端改为固定铰支座，,（3）去掉一个中间铰，相当于解除了两个多余约束。,（4）在刚性联接处切断，或去掉一个固定端， 相当于解除了3个多余约束。,静定基不是唯一的。,二、用莫尔积分法解一次静不定问题,l,EI,A,B,解除一个多余约束，用多余约束反力
4、代替。,（1）判断超静定次数,（3）变形协调方程用莫尔积分法,（2）选静定基,B,1,三、力法正则方程解静不定问题,1、一次静不定问题的一般解法几何法,l,EI,A,B,解除一个多余约束，用多余约束反力代替。,特点：用位移比较法列变形协调方程,（1）判断超静定次数,（3）变形协调方程用位移比较法,（2）选静定基,协调方程：B点挠度为零：,由叠加原理：,B,l,EI,A,B,解除一个多余约束，用多余约束反力X1代替。,2、一次静不定的力法正则方程,特点：用力法正则方程列变形协调方程,（1）判断超静定次数,（3）变形协调方程用力法正则方程,（2）选静定基,力法以未知力为基本未知量的解法。 正则方程
5、用标准化的形式来表示变形协调方程。,第一个下标1表示位移发生在 X1 的作用点，沿着X1 的方向。 第2个下标X1 （或F）表示是由多余反力X1和实际载荷F 引起的。,协调方程：B点挠度为零：,B,由叠加原理：,表示 X1=1 时， 在X1 的作用点，沿着X1 的方向的位移。 因为线弹性体，位移与力成正比，所以 X1 引起的 B 点的 位移为 的 X1 倍。,将未知力 X1 分离出来,B,1, 一次静不定的力法正则方程,能量法解超静定问题，就是用莫尔积分求,让多余约束反力等于1，由单位力1引起的X1 的作用点， 沿着X1 的方向的位移。,由实际载荷引起的X1 的作用点，沿着X1 的方向的位移。
6、,B,1,l,EI,A,B,l,EI,A,B,x,x,（方向向上）,已知：EI。 求：图示结构B点的约束反力。,解：（1）判断静不定次数：一次 （2）取静定基,C,（3）列变形协调方程变,（4）用莫尔积分法求 分别求实际载荷及单位力引起的内力,l,A,B,l,静定基,实际载荷,多余约束反力变单位力,（方向向上）,代入协调方程，得：,C,l,l,已知：三个杆的横截面积A、弹性模量E 均相同。 求：各杆的内力。,解：（1）判断超静定次数 3 2 = 1,l,P,P,（2）取静定基,（3）列变形协调方程变,（4）用莫尔积分法求 分别求实际载荷及单位力引起的内力,P,P,431,对称性分析：A、B二处
7、的约束力 大小相等、分析相反。,求：该曲杆的约束反力。,已知: EI，F，R。,解：（1）判断超静定次数,（2）取静定基,（3）列变形协调方程变,（4）用莫尔积分法求,1,1,3、高次静不定的力法正则方程,已知：EI。 求：B点的约束反力。,以梁为例,解：（1）判断静不定次数：三次 （2）取静定基,静定基,l,（3）列变形协调方程：,B点的竖向位移：,B点的水平位移：,B点的转角：,B,当 时引起的 i 方向的位移。,B,三次静不定的力法正则方程,（1）正则方程为 n 元一次方程组，n 为静不定次数。,（2） ，位移互等定理。,（3）,图与 图相乘。,图与 图相乘。,高次静不定的力法正则方程,
8、已知：EI。 求：B点的约束反力。,以梁为例,解：（1）判断静不定次数：三次 （2）取静定基,（3）列变形协调方程变,静定基,1,1,1,l,（4）用莫尔积分法求,9个,1,1,1,1,1,1,1,1,1,代入典型方程：,化简，得：,三、利用对称性解静不定问题,对称结构：几何形状、支承条件及各杆的刚度对称 于某一轴线。,支承不对称,刚度不对称,对称,1、对称载荷与反对称载荷,（1）对称荷载：在对称结构上，载荷的作用位置、大小和方 向也对称于结构的对称轴。,（2）反对称荷载：在对称结构上，载荷的作用位置、大小是 对称的，但方向反对称于结构的对称轴。,（1）对称内力：弯矩M、轴力N。,（2）反对称
9、内力：扭矩T、剪力Q。,2、对称内力与反对称内力,（1）在对称结构上作用对称荷载，在对称面上只有对称的内力， 即反对称的内力为零，Q = 0，T=0；,3、利用对称性解静不定问题,利用对称性，可以使一个高次静不定问题降阶，变成低次静不定问题。,（1）利用对称性，三次静不定变成二次静不定。,（2）变形协调条件,用莫尔积分法求,9个,用莫尔积分法求,5个,F,F,F,F,a,a,l,l / 2,l / 2,（1）利用对称性，三次静不定变成一次静不定。,（2）变形协调条件,用莫尔积分法求,2个,（2）在对称结构上作用反对称荷载，在对称面上只有反对称的内力， 即对称的内力为零，M = 0， N = 0
10、。,F,F,对称性的灵活应用：,3次静不定求9个 2次静不定求5个 1次静不定求2个,应用对称性分析：在对称结构上作用对称荷载，在对称面上只有对 称的内力（对于梁轴力对变形的影响可忽略）。,已知 ：EI 、q、l。 求： 梁的最大挠度和转角。 解： （1）判断静不定次数 1次,（2）选取静定基 （3）建立变形协调条件,（4）用莫尔积分法求 分别求实际载荷及单位力引起的内力,静定基,已知：EI，F，l。 试：画出图示结构的弯矩图。,F,F,l,l,l,l / 2,l / 2,l / 2,l / 2,（1）一次静不定问题,（2）选取静定基 （3）建立变形协调条件,F,1,弯矩图：,由于对称性：,例
11、题：等截面圆环受一对在其水平直径两端处作用的力F，如图示。 已知：圆环轴线的半径为R 。 试作：圆环的弯矩图。,（1）一次静不定问题,（2）选取静定基 （3）建立变形协调条件,静定基,垂直和水平轴是两根对称轴 AC和BD是两根反对称轴,已知：正方形 。 试求：最大弯矩。,解：载荷关于对角线AC和BD反对称 利用对称性，由平衡条件得：,发生在外载荷作用点处。,H,解：利用对称性,431,（1）判断超静定次数,（2）取静定基,（3）列变形协调方程变,（4）用莫尔积分法求,1,发生在外载荷作用点处。,0,2R,1,N,N,M,M,本章作业,作业：14.4(b); 14.8; 14.10; 14.15,
