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1、第三节 二项式定理全盘巩固1在5的二项展开式中，x 的系数为( )(2x21x)A10 B10 C40 D40解析：选 D Tr1C (2x2)5rr(1)r25rC x103r，r 5(1x)r 5令 103r1，得 r3.所以 x 的系数为(1)3253C 40.3 52在(1)2(1)4的展开式中，x 的系数等于( )x3xA3 B3 C4 D4 解析：选 B 因为(1)2的展开式中 x 的系数为 1，(1)4的展开式中 x 的系数为x3xC 4，所以在(1)2(1)4的展开式中，x 的系数等于3.3 4x3x3(2013全国高考)(1x)8(1y)4的展开式中 x2y2的系数是( )
2、A56 B84 C112 D168 解析：选 D (1x)8展开式中 x2的系数是 C ，(1y)4的展开式中 y2的系数是 C ，根2 82 4据多项式乘法法则可得(1x)8(1y) 4展开式中 x2y2的系数为 C C 286168.2 8 2 44.5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( )(xax)(2x1x)A40 B20 C20 D40 解析：选 D 由题意，令 x1 得展开式各项系数的和为(1a)(21)52，a1.二项式5的通项公式为 Tr1C (1)r25rx52r，(2x1x)r 55展开式中的常数项为 xC (1)322x1 C (1)(x1x)(2x1x
3、)3 51x2 5223x408040.5在(1x)na0a1xa2x2a3x3anxn中，若 2a2an30，则自然数 n 的值是 ( ) A7 B8 C9 D10 解析：选 B 易知 a2C ，an3(1)n3C(1)n3C ，又 2a2an30，所2 nn3n3 n以 2C (1)n3C 0，将各选项逐一代入检验可知 n8 满足上式2 n3 n6设 aZ，且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a( ) A0 B1 C11 D12 解析：选 D 512 012a(1341)2 012a，被 13 整除余 1a，结合选项可得 a12 时，512 012a 能被 13 整除
4、7(2014杭州模拟)二项式5的展开式中第四项的系数为_(12x)解析：由已知可得第四项的系数为 C (2)380，注意第四项即 r3.3 5答案：80 8(2013四川高考)二项式(xy)5的展开式中，含 x2y3的项的系数是_(用数字 作答)解析：由二项式定理得(xy)5的展开式中 x2y3项为 C x53y310x2y3，即 x2y3的系数为3 510. 答案：109 (2013浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为 A，则 A_.(x13x)解析：因为5的通项 Tr1C ()5rr(1)rC xx (1)rC x(x13x)r 5x(13x)r 55r2r3r 5.令 155r0，得
5、r3，所以常数项为(1)3C x010.即 A10.155r63 5答案：1010已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解：令 x1，则 a0a1a2a3a4a5a6a71.令 x1，则 a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C 1，a1a2a3a72.0 7(2)()2，得 a1a3a5a71 094.1372(3)()2，得 a0a2a4a61 093.1372(4)(12x)7展开式中 a0、a2、a4、a6大于零，而 a1、a3、a5、a7小于零，|a0|a1|a2
6、|a7|(a0a2a4a6) (a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.11若某一等差数列的首项为 CA，公差为m的展开式中的112n5n2n2113n(52x253x2)常数项，其中 m 是 777715 除以 19 的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值解：设该等差数列为an，公差为 d，前 n 项和为 Sn.由已知得Error!Error!又 nN*，n2，CACA CA 54100，a1100.112n5n2n2113n7 102 53 102 510 9 83 2777715(761)77157677C7676C761151 77767776(7676C76
7、75C)141 77767776M14(MN*)，777715 除以 19 的余数是 5，即 m5.m的展开式的通项是 Tr1C 5rr(1)(52x253x2)r 5(52x)(253x2)rC52rx r5(r0,1,2,3,4,5)，r 5(52)53令 r50，得 r3，代入上式，得 T44，即 d4，从而等差数列的通项公式53是 an100(n1)(4)1044n.设其前 k 项之和最大，则Error!Error!解得 k25 或 k26，故此数列的前 25 项之和与前 26项之和相等且最大，S25S2625251 300.a1a2521001044 25212从函数角度看，组合数
8、C 可看成是以 r 为自变量的函数 f(r)，其定义域是r nr|rN，rn(1)证明：f(r)f(r1)；nr1r(2)利用(1)的结论，证明：当 n 为偶数时，(ab)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大解：(1)证明：f(r)C ，f(r1)C，r nn！r！nr！r1nn！r1！nr1！f(r1).nr1rnr1rn！r1！nr1！n！r！nr！则 f(r)f(r1)成立nr1r(2)设 n2k，f(r)f(r1)，f(r1)0，.nr1rfrfr12kr1r令 f(r)f(r1)，则1，则 rk (等号不成立)2kr1r12当 r1,2，k 时，f(r)f(r1)成立反之，当 rk
9、1，k2，2k 时，f(r)f(r1)成立f(k)C最大，即(ab)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大k 2k冲击名校1(2013新课标全国卷)已知(1ax)(1x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a( )A4 B3 C2 D1解析：选 D 已知(1ax)(1x)5的展开式中，x2的系数为 C aC 5，则 a1.2 51 52(2014湖州模拟)6的展开式中的系数为12，则实数 a 的值为(2 xax)1x2_解析：二项式6展开式中第 r1 项为 Tr1C (2)(2 xax)r 6x6rrC 26rarx3r，当 3r2，即 r5 时，含有的项的系数是(ax)r 61x2C 2a512，解得 a1.5 6
