《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 课时达标 高考必考题突破讲座（五）直线与圆锥曲线的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 课时达标 高考必考题突破讲座（五）直线与圆锥曲线的综合应用（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1高考必考题突破讲座（五）直线与圆锥曲线的综合应用高考必考题突破讲座（五）直线与圆锥曲线的综合应用解密考纲圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现1(2018福建三明一中期中)已知双曲线C1与椭圆1 有相同的焦点，并且经x2 25y2 9过点.(5 2，3 32)(1)求C1的标准方程；(2)直线l：ykx1 与C1的左支有两个相异的公共点，求k的取值
2、范围解析 (1)依题意，双曲线C1的焦点坐标为F1(4,0)，F2(4,0)，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则 2a4，即x2 a2y2 b2|(5 24)2(3 32)2(5 24)2(3 32)2|a2，又因为c4，所以b2c2a212.故双曲线的标准方程为1.x2 4y2 12(2)由Error!得(3k2)x22kx130，设该方程的两根分别为x1，x2，则依题意可知Error!解得0，即m1 时，x122，x222，m1m1从而|AB|x1x2|4.22m1由题设知|AB|2|MN|，即 42(m1)，2m1解得m7.所以直线AB的方程为yx7.3(2018四川绵阳南山中学期
3、中)如果点M(x，y)在运动过程中总满足关系式2.(x 2)2y2(x 2)2y23(1)说明点M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；(2)O是坐标原点，直线l：ykx2 与点M的轨迹交于不同的A，B两点，求AOB面积的最大值解析 (1)2可表示(x，y)与(，0)，x 22y2x 22y232(，0)的距离之和等于常数 2，由椭圆的定义，可知此点的轨迹为焦点在x轴上的椭23圆，且a，c，故轨迹方程为y21.32x2 3(2)由Error!得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)36k2360，k21，x1x2，12k 13k2x1x2，且点O到直线l的距离为d，|AB|x
4、1x2|，9 13k22k21k21S |AB|d 2|x1x2|.1 21 2x1x224x1x26k2113k2令t(t0)，则k2t21，k21S，当且仅当t，即k时，等号成立，即S取最6t 3t2463t4t322 33213大值.324(2017北京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点作直线l与抛物(0，1 2)线C交于不同的两点M，N，过点M作 x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点3解析 (1)由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p .1 2所以抛物线C的方程为y2
5、x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x .(1 4，0)1 4(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx (k0)，l与抛物线C的交点为1 2M(x1，y1)，N(x2，y2)由Error!得 4k2x2(4k4)x10，则x1x2，x1x2.1k k21 4k2因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为.y2 x2(x1，y2x1 x2)因为y12x1y2x1 x2y1x2y2x12x1x2 x2(kx11 2)x2(kx21 2)x12x1x2 x22k2x1x212x2x1 x20，2k2 1 4k21k 2k2 x
6、2所以2x1，故A为线段BM的中点y1y2x1 x25在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y24x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由解析 (1)方法一 当直线AB垂直于x轴时，y12，y22，因此y1y28 为定值22当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程yk(x2)，由Error!得ky24y8k0.y1y28.因此有y1y28 为定值方法二 设直线AB的方程为myx2，4由Error!得y24my80
7、，y1y28.因此有y1y28 为定值(2)设存在直线l：xa满足条件，则AC的中点E，|AC|(x12 2，y12).点A在抛物线上，所以y4x1，x122y2 12 1因此以AC为直径的圆的半径r |AC|，1 21 2 x122y2 11 2x2 14又点E到直线xa的距离d.|x12 2a|故直线l被圆截得的弦长为22r2d21 4x2 14(x12 2a)2.x2 14x122a241ax18a4a2当 1a0，即a1 时，弦长为定值 2，这时直线方程为x1.6已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，)，且它的离心率e .31 2(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x1)2
8、y21 相切的直线l：ykxt交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足，求实数的取值范围OMONOC解析 (1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，x2 a2y2 b2由已知得Error!解得Error!所以椭圆的标准方程为1.x2 8y2 6(2)因为直线l：ykxt与圆(x1)2y21 相切，所以12k(t0)，|tk|1k21t2 t把ykxt代入1 并整理，得x2 8y2 6(34k2)x28ktx(4t224)0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x2，8kt 34k25y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t.6t 34k2因为(x1x2，y1y2)，OC所以C，(8kt
9、34k2，6t 34k2)又因为C在椭圆上，所以18k2t2 34k2226t2 34k2222，2t2 34k22(1 t2)21 t21因为t20，所以211，(1 t2)1 t2所以 022，所以的取值范围为(，0)(0，)227如图，已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆x2 a2M：x2y26x2y70 相切(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且0，求证：直线l过APAQ定点，并求出该定点N的坐标解析 (1)将圆M的一般方程x2y26x2y70 化为标准方程为(x3)2(y1)23，圆M的圆心为M(3,1)，半径为r.3
10、由A(0,1)，F(c,0)(c)得直线AF： y1，a21x c即xcyc0.由直线AF与圆M相切，得.|3cc|c213c或c(舍去)22a，椭圆C的方程为y21.3x2 3(2)证明：由0，知APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0,1)可设直APAQ6线AP的方程为ykx1，直线AQ的方程为yx1(k0)，1 k将ykx1 代入椭圆C的方程y21 并整理，得x2 3(13k2)x26kx0，解得x0 或x，6k 13k2因为P的坐标为，(6k 13k2，6k2 13k21)即.(6k 13k2，13k2 13k2)将上式中的k换成 ，得Q.1 k(6k k23，k23 k23)直
11、线l的方程为y，k23 k2313k2 13k2 6k k236k 13k2(x6k k23)k23 k23化简得直线l的方程为yx .k21 4k1 2因此直线l过定点N.(0，1 2)8(2018广西桂林中山中学阶段性测试)已知焦距为 2 的椭圆W：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，点x2 a2y2 b2M(x0，y0)为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之积为 .1 4(1)求椭圆W的标准方程； (2)如图所示，点A，D是椭圆W上两点，点A与点B关于原点对称，ADAB，点C在x轴上，且AC与x轴垂直，求证：B
12、，C，D三点共线解析 (1)由题意可知 2c2，即c1，a2b21.M(x0，y0)为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，1，y(a2x)，x(b2y)，x2 0 a2y2 0 b22 0b2 a22 02 0a2 b22 07kMA1kMA2kMB1kMB2y0 x0ay0 x0ay0b x0y0b x0y2 0 x2 0a2y2 0b2 x2 02 ，b2 a2a2x2 0 x2 0a2y2 0b2 a2 b2b2y2 0(b2 a2)1 4则a22b2，a22，b21，椭圆W的标准方程为y21.x2 2(2)证明：不妨设点A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(x1，y1)，C(x1,0)A，D在椭圆上，Error!即(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0，.y1y2 x1x2x1x2 2y1y2ADAB，kADkAB1，即1，y1 x1y1y2 x1x2即1，y1 x1x1x2 2y1y2y1 x12y1y2 x1x2kBDkBC0，y1y2 x1x2y1 2x1y1y2 x1x2y1y2 x1x2即kBDkBC.B，C，D三点共线
