《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第34讲 基本不等式优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第34讲 基本不等式优选学案（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 3434 讲讲 基本不等式基本不等式考纲要求考情分析命题趋势2017江苏卷，102017山东卷，122017天津卷，131.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.分值：5 分对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.1基本不等式abab 2(1)基本不等式成立的条件：！_a0，b0_#.(2)等号成立的条件：当且仅当！_ab_#时取等号2几个重要不等式(1)a2b2！_2ab_#(a，bR R)(2) ！_2_#(a，b同号)b aa b(3)ab2(a，bR R)(ab 2)(4)2(a，bR R)a
2、2b2 2(ab 2)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数2设a0，b0，则a，b的算术平均数为！_#，几何平均数为！ab 2！_#，基本不等式可叙述为！_两个正数的算术平均数不小于它们的ab几何平均数_#.4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当！_xy_#时，xy有最！_小_#值，是！_2_#(简记：积定和最小)；p(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当！_xy_#时，xy有最！_大_#值，是！_#(简记：和定积最大)p2 41思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数yx 的最小值是 2.( )1 x(2)函数f(x)cos
3、 x，x的最小值等于 4.( )4 cos x(0， 2)(3)“x0，y0”是“ 2”的充要条件( )x yy x(4)若a0，则a3的最小值为 2.( )1 a2a解析 (1)错误因为x没有确定符号，所以不能说最小值为 2.(2)错误利用基本不等式时，等号不成立(3)错误不是充要条件，当x0，n0，mn218.当且仅当mn9 时，等号成立mn3若M(aR R，a0)，则M的取值范围为( A A )a24 aA(，44，) B(，4C4，) D4,4解析 Ma .a24 a4 a当a0 时，M4；当a2，x20，f(x)x(x2)222224，1 x21 x2x21 x2当且仅当x2，即(x
4、2)21 时，等号成立x1 或 3.1 x2又x2，x3，即a3.(3)因为x0，则f(x)5 44x23231，1 4x5(54x1 54x)当且仅当 54x，1 54x即x1 时，等号成立5故f(x)4x2的最大值为 1.1 4x5【例 3】 (1)(2017天津卷)若a，bR R，ab0，则的最小值为！a44b41 ab！_4_#.(2)已知x为正实数，且x21，求x的最大值y2 21y2解析 (1)，由基本不等式，得a44b41 aba3 b4b3 a1 ab24ab4，当且仅当，4ab同时成立，即a3 b4b3 a1 aba3 b4b3 a1 ab1 aba3 b4b3 a1 aba
5、2，b2时等号成立2224(2)因为x0，所以x.1y22x2(12y2 2)22x2(1 2y2 2)又x2 .(1 2y2 2) (x2y2 2)1 23 2所以x，1y22(1 23 2)3 24当且仅当x2 ，即x时，等号成立1 2y2 232故(x)max.1y23 24三 利用基本不等式解决实际应用问题(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解【例 4】 (2017江苏卷)某公司一年购买某种货物
6、 600 吨，每次购买x吨，运费为 6万元/次，一年的总存储费用为 4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是！_30_#.解析 一年购买次，则总运费与总存储费用之和为64x48600 x600 x(900 xx)240，当且仅当x30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是 30.900 xx61已知f(x)32x(k1)3x2，当xR R 时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( B B )A(，1) B(，21)2C(1,21) D(21,21)222解析 由 32x(k1)3x20 恒成立，得k10，则下列不等式中，恒成立的是( C C )Aab2B ab1 a
7、1 b1abC 2Da2b22abb aa b解析 ab0， 0， 0， 22，当且仅当ab时取等号b aa bb aa bb aa b3若a0，b0，且a(a2b)4，则ab的最小值为( C C )A B4 C2 D2228解析 a0，b0，a2b0，又a(a2b)4，4a(a2b)，当且仅当aa2b2 时等号成立aa2b24(ab)24，ab2.4函数y(x1)的最小值是( A A )x22 x1A22 B22C2 D2333解析 x1，x10.yx22 x1x22x2x2 x1x22x12x13x1x12x122x13x13 x12222.x1(3 x1)3当且仅当x1，即x1时，取等号
8、3 x135若正数a，b满足ab2，则的最小值是( B B )1 a14 b1A1 B C9 D169 4解析 (52) ，1 a14 b1(1 a14 b1)a1b141 414b1 a14a1b11 449 4当且仅当，即b12(a1)时取等号故选 Bb1 a14a1b16小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a0)图象上的点，则xy的最小值为！ 2 2 x2#.解析 因为x0，所以y0，且xy2.由基本不等式得xy22，当且仅当xy2xy时等号成立8(2017山东卷)若直线 1(a0，b0)过点(1,2)，则 2ab的最小值为！x ay b！_8_#.解析 直线 1(a0，b0)过点(
9、1,2)， 1.又x ay b1 a2 ba0，b0，2ab(2ab)4 428，当且仅当 ，即(1 a2 b)b a4a bb a4a bb a4a ba2，b4 时等号成立，2ab的最小值为 8.9已知x，y为正实数，3x2y10，则的最大值为！ 2 #.3x2y5解析 由，得2，ab 2a2b2 23x2y2 3x2 2y223x2y5当且仅当x ，y 时取等号5 35 2三、解答题10设a，b，c均为正数，且abc1，证明：1.a2 bb2 cc2 a证明 因为b2a，c2b，a2c，a2 bb2 cc2 a故(abc)2(abc)，a2 bb2 cc2 a即abc，所以1.a2 bb
10、2 cc2 aa2 bb2 cc2 a11已知x0，y0，且 2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解析 (1)x0，y0,2x8yxy0，xy2x8y28，16xyxy(8)0，又0，xyxyxy8，即xy64.xy当且仅当x4y，即 8y8y4y20，即y4，x16 时取等号，xy的最小值为 64.(2)2x8yxy0，10 1，2 y8 xxy(xy)(2 y8 x)1010218.2x y8y x2x y8yx当且仅当，即x2y，即 4y8y2y20，2x y8y x即y6，x12 时取等号，xy的最小值为 18.12某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km
11、宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2x万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解析 (1)设需要修建k个增压站，则(k1)x240，即k1，240 x所以y400k(k1)(x2x)400(x2x)240x160.(240 x1)240 x96 000 x因为x表示相邻两增压站之间的距离，则 0x240.故y与x的函数关系为y240x160(0x240)96 000 x(2)y240x160216024 8001609 440，96 000 x96 000 x240x当且仅当240x，即x20 时等号成立，96 000 x此时k1111.240 x240 20故需要修建 11 个增压站才能使y最小，其最小值为 9 440 万元
