《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 函数模型及其应用优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 函数模型及其应用优选学案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 1212 讲讲 函数模型及其应函数模型及其应用用考纲要求考情分析命题趋势2016四川卷，22015四川卷，82014福建卷，92014湖北卷，161.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 分值：512分函数的实际应用，考查几个常见的函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型，用来求解实际问题中的最值问题、优化问题.1三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上
2、的单调性单调_递增_函数单调_递增_函数单调_递增_函数增长速度越来越_快_越来越_慢_相对平稳2图象的变化随x值增大，图象与_y_轴接近平行随x值增大，图象与_x_轴接近平行随n值变化而不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有 logax0，且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0，且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0)3解决函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)解模：求解数学模型，得
3、出数学结论(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数y2x的函数值在(0，)上一定比yx2的函数值大( )(2)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度( )(3)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻( )(4)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中( )解析 (1)错误当x(0,2)和(4，)时，2xx2，当x(2,4)时，x22x.(2)正确由两者的图象易知(3)错误增长越来越快的指数型函数是yabxc(a0，b1)(4)正确
4、根据指数函数yax(a1)的函数值增长特点易知2已知f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长3速度进行比较，下列选项中正确的是( B B )Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x)解析 由图象知，当x(4，)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)3在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则x，y最适合的函数是( D D )Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x解析 根据x0.50，y
5、0.99，代入计算，可以排除 A 项；将x2.01，y0.98代入计算，可以排除 B，C 项；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意故选 D4一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：h)的函数关系用图象表示为下图中的( B B )解析 由题意知h205t(0t4)故选 B5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价是 20 万元，为获取最大利润，该1 2企业一个月应生产该商品数量为( B B )A36 万件 B18 万件C22 万件 D9 万件解
6、析 利润L(x)20xC(x) (x18)2142，当x18 时，L(x)有最大值1 2一 二次函数模型在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解，解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题4【例 1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似的表示为yx2200x80 000，且
7、每处理一吨二氧化碳得到可利用的化1 2工产品的价值为 100 元，则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解析 设该单位每月获利为S，则S100xy100x(1 2x2200x80 000)x2300x80 0001 2 (x300)235 000，1 2因为 400x600，所以当x400 时，S有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损二 指数函数、对数函数模型一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解求解时注意指数式与对数式的互化、指数函数
8、值域的影响以及实际问题中的条件限制【例 2】 (1)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是( C C )A16 小时 B20 小时 C24 小时 D28 小时(2)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值 1010，为了简单起见，科学家用PAlg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：PA1；若今天的PA值比昨天的PA值增加 1，则今天的A菌个数比昨
9、天的A菌个数多 10；假设科学家将B菌的个数控制在 5 万，则此时 54 时，由L(x)0，得 5.5x0，解得 44 时，L(x)200，则 lg130(112%)n1lg 200，lg 130(n1)lg 1.12lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，0.11(n1)0.050.30，解得n.24 5又nN N*，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 2019 年故选 B课时达标课时达标 第第 1212 讲讲解密考纲本考点考查函数在实际生活中的应用等在近几年的高考中选择题、填空题、解答题都出现过选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知
10、识综合考查，题目难度中等一、选择题1某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是( C C )Ay100xBy50x250x100Cy502xDy100log2x100解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得 C 项正确2某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1 800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元求该厂多少
11、天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少( B B )A9 天 B10 天C11 天 D12 天解析 设该厂应每隔x天购买一次面粉，则购买量为 6x吨，由题意可知，面粉的保管9等其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)，设平均每天所支付的总费用为y1元，则y11 80069x10 809210 80910 989，9xx1900x900 x900 x9x当且仅当 9x，即x10 时取等号900 x故该厂每隔 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少故选 B3国家规定某行业征税如下：年收入在 280 万元及以下的税率为p%，超过 280 万元的部分按(p2)%征
12、税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该(缴税比例纳税额 年收入)公司的年收入是( D D )A560 万元 B420 万元C350 万元 D320 万元解析 设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意，得yError!依题意有 280p%(x280)(p2)%(p0.25)%，解得x320.1 x4世界人口在过去 40 年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据 lg 20.301 0,100.007 51.017)( C C )A1.5% B1.6%C1.7% D1.8%解析 设每年世界人口平均增长率为x，则(1x)402，两边取以 10 为底的对数，则 40lg(1
13、x)lg 2，所以 lg(1x)0.007 5，所以 100.007 51x，得lg 2 401x1.017，所以x1.7%.5某校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知本年 9 月份两食堂的营业额又相等，则本年 5 月份( A A )A甲食堂的营业额较高B乙食堂的营业额较高C甲、乙两食堂的营业额相同D不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析 设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得m8am(1x)8，则 5 月份甲食堂
14、的营业额y1m4a，乙食堂的营业额y2m(1x)4，因为yy(m4a)mm8a2 12 2102m(m8a)16a20，所以y1y2，故本年 5 月份甲食堂的营业额较高6某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房当每套房月租金定为 3 000 元时，这70 套公寓能全租出去；当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的整数倍)，就会多一套房子不能出租设租出的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( B B )A3 000 元 B3 300 元C3 500 元 D4 000 元解析 由题意，设利润为y
15、元，租金定为 3 00050x元(0x70，xN N)则y(3 00050x)(70x)100(70x)(2 90050x)(70x)50(58x)(70x)502，(58x70x 2)当且仅当 58x70x，即x6 时，等号成立，故每月租金定为 3 0003003 300(元)时，公司获得最大利润故选 B二、填空题7某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.76 000v v218v20l(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_1_900_辆/小时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_100_辆/
