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1、【2012 高考冲刺样本】1(本小题满分 16 分)对于定义在区间D上的函数和，如果对于任意，都有 xf xgDx成立，那么称函数在区间D上可被函数替代 1|xgxf xf xg(1) 若，试判断在区间上能否被替代？ xxgxxxfln,1 2, 1 e xf xg(2) 记，证明在上不能被替代； ,lnf xx g xx xf1(,)(1)m mm xg(3) 设，若在区间上能被替代，xxxgaxxaxf2 21)(,ln)( xf, 1 e xg求实数的范围a1 ， xxxxgxfln1 2)(令，xxxxhln1 2)(，2 分022211 21)(222xxx xxxh在上单调增，3
2、分)(xh, 1 e 11 2,21)(eexh，即在区间上能被替代4 分1)()(xgxf, 1 e xf xg（2）令( )( )( )lnt xf xg xxx，5 分11( )1xt xxx 且当时，；当时，6 分1x ( )0t x1x ( )0t x，即，7 分( )(1)1t xt( )( )ln1f xg xxx在上不能被替代 8 分 xf1(,)(1)m mm xg（3）在区间上能被替代，即对于恒成立 xf, 1 e xg1)()(xgxf, 1 ex ， 9 分121ln2xxaxxa121ln12xxaxxa由（2）的知，当时，恒成立，, 1 ex0lnxx有 ，10 分
3、xxxx aln1212 令，xxxx xFln121)(2 ，22)ln() 121)(11 ()ln)(1( )(xxxxxxxx xF 2)ln()1ln121)(1(xxxxxx 由（1）的结果可知，11 分111 ln02xxx 恒大于零，12 分)(xF21a ，13 分xxxx aln1212 令，xxxx xGln121)(2 ，22)ln() 121)(11 ()ln)(1( )(xxxxxxxx xG 2)ln()1ln121)(1(xxxxxx ，111111 ln1 ln022xxxxxx 4 分恒大于零，)(xG， 15 分) 1(2222eeea即实数的范围为a 1
4、6 分) 1(222 212eeea2(本小题满分 16 分)已知函数2( )1, ( )|1|f xxg xa x（）若有两个不同的解，求的值；|( )|( )f xg xa（）若当时，不等式恒成立，求的取值范围；xR( )( )f xg xa（）求在上的最大值.( ) |( )|( )h xf xg x 2,22解：（）方程，即，变形得，|( )|( )f xg x2|1|1|xa x|1|(|1|)0xxa显然，x=1 已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程|1|xa“有且仅有一个不等于 1 的解”或“有两解，一解为 1，另一解不等于 1” 3 分结合图形，得或5 分0a
5、 2a （）不等式对恒成立，即（*）对恒成( )( )f xg xxR2(1)|1|xa xxR立，当 x=1 时， （*）显然成立，此时 6 分aR当 x1 时， （*）可变形为，令，21 |1|xax21 (1)1( )(1) (1)|1|xxxxxxx因为当 x1 时，；而当 x1 时，. ( )2x( )2x 所以，故此时9 分( )2g x 2a 综合，得所求的取值范围是 10 分a2a （）因为=,2( ) |( )|( ) |1|1|h xf xg xxa x2221 (1)1 ( 11)1 (1)xaxaxxaxaxxaxax 当时，结合图形可知 h(x)在-2，1上递减，在1
6、，2上递增，1,22aa即且 h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，经比较，此时 h(x)在-2，2上的最大值为11 分33a 当时，结合图形可知 h(x)在-2，-1，上递减，01,22aa即0,12a在，1，2上递增，且 h(-2)=3a+3, h(2)=a+3， 1,2a 2 ()124aaha经比较，知此时 h(x) 在-2，2上的最大值为12 分33a 当时，结合图形可知 h(x)在-2，-1，上递减，10,02aa 即-2,12a在，1，2上递增，且 h(-2)=3a+3, h(2)=a+3， 1,2a 2 ()124aaha经比较，知此时 h(x) 在-2，2上的最大值为13
7、 分3a 当时，结合图形可知 h(x)在，上递31,222aa 即-3 2,2a1,2a减，在，上递增，且 h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，,12a,22a00经比较，知此时 h(x) 在-2，2上的最大值为14 分3a 当时，结合图形可知 h(x)在-2，1上递减，在1，2上递增，3,322aa 即故此时 h(x) 在-2，2上的最大值为 h(1)=015 分综上所述，当时，h(x) 在-2，2上的最大值为；0a 33a当时，h(x) 在-2，2上的最大值为；30a 3a当时，h(x) 在-2，2上的最大值为 016 分3a 3(本小题满分 16 分) 已知函数,.2( )|ln1
8、|f xxax( )| 22ln2,0g xx xaa （）当时,求函数在区间上的最大值；1a ( )f x1, e（）若恒成立,求的取值范围；3( ),1,)2f xa xa（）对任意,总存在惟一的,使得成立, 求的11,)x 22,)x 12()()f xg xa取值范围.3解：（）当,时,1a 1, xe2( )ln1f xxx1( )2(1)1fxxfx所以在 递增,所以4 分( )f x1, e2 max( )( )f xf ee（）当ex 时，axaxxfln)(2，xaxxf2)(，0a，0)(xf恒成立, )(xf在), e上增函数,故当ex 时，2 min)(eefy5 分当
9、ex 1时，)2)(2(22)(axaxxxaxxf，2( )lnf xxaxa（i）当, 12a即20 a时，)(xf 在), 1 ( ex时为正数，所以)(xf在区间), 1 e上为增函数,故当1x时，ay1min，且此时)() 1 (eff7 分2 e(ii)当ea21,即222ea 时，)(xf 在)2, 1 (ax时为负数，在间),2(eax 时为正数,所以)(xf在区间)2, 1 a上为减函数，在,2(ea上为增函数,故当2ax 时，2ln223minaaay，且此时)()2(efaf8 分2 e(iii)当ea2,即 22ea 时，)(xf 在), 1 ( ex时为负数，所以)(
10、xf在区间1,e上为减函数，故当ex 时，2 min)(eefy9 分综上所述，函数)(xfy 的最小值为 222 min2,22 ,2ln22320 ,1eaeeaaaaaay10 分所以当时,得；当()时,无解；312aa02a33ln2222aaaa222ae当 （）时,得不成立. 23 2ea22ae2 3ae综上,所求的取值范围是11 分a02a（）当时,在单调递增,由,02a( )g x2,)(2622ln21gaa ）得12 分52ln2233aya 2ax当时，在先减后增,由,122a( )g x2,)3(2222ln2ln222）aaaga得, ln22ln20222aaa设
11、,( )ln22ln2()2ah ttttt ( )2ln0(12)h ttt 所以单调递增且，所以恒成立得14 分( )h t(2)0h( )0h t 24a当时,在递增，在递减，222ae( )f x2,2a, 2aa在递增,所以由, ,)a ( )2ag3ln222aaa得,设,23ln22ln204222aaaa2( )3ln22ln2m ttttt则,所以递增，且,2( )22ln0(2,)m tttte( )m t(2)0m所以恒成立，无解. ( )0m t 当时，在递增，在递减，在递增,22ae( )f x2,2a, 2aa ,)a 所以由得无解.( )2age2 222ln20
12、4ae综上,所求的取值范围是16 分a52ln2,4)33a4. (本小题满分 16 分)已知函数2( )1, ( )|1|f xxg xa x（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；x|( )|( )f xg xa（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；xR( )( )f xg xa（3）求函数在区间上的最大值（直接写出结果，不需给出( ) |( )|( )h xf xg x 2,2演算步骤） 4 （1）方程，即，变形得，|( )|( )f xg x2|1|1|xa x|1|(|1|)0xxa显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，1x |1|xa有且仅有一个等于 1 的解或无解 ， 结合图形得. 4 分0a （2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，( )( )f xg xxR2(1)|1|xa xxR当时， （*）显然成立，此时； 1x aR当时， （*）可变形为，令1x
