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1、高中数学高中数学 第三章 数列考试内容：考试内容：数列等差数列及其通项公式等差数列前 n 项和公式等比数列及其通项公式等比数列前 n 项和公式考试要求：考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解决简单的实际问题03.03. 数数数数 列列列列 知识要点知识要点知识要点知识要点数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的
2、定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前 n 项 和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n 项 和1. 等差、等比数列：等差数列等比数列定义常数）为(1daaPAannn常数）为(1qaaPGann n通项公式na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d=dn+1a-dkn kn nqaqaa1 1等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mn mnqaa通项公式dnaan) 1(11 1n nqaa（0,1qa）中项 2knknaaA（0,* knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,* kn
3、Nkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2) 1( 1 )2(111) 1(111qqqaa qqaqnaSnnn重要性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm ),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm求和公式ndanddnnnaaansn n)2(22) 1( 2)(1211) 1(11)1 () 1(111qqqaa qqaqnasnn n中项公式A=2ba 推广：2na=mnmnaaabG 2。推广：mnmnnaaa21若 m+n=p+q 则 qpnmaaaa若 m+n=p+q，则qpnmaaaa。2若nk成 A.P（其中Nkn）则 nka也为 A.P。若nk成等比数列
4、（其中Nkn） ，则 nka成等比数列。3nnnnnsssss232, 成等差数列。nnnnnsssss232,成等比数列。4 )(11nmnmaa naadnmn11 aaqnn， mnmn aaq)(nm 性质5看数列是不是等差数列有以下三种方法：), 2(1为常数dndaann211nnnaaa(2n)bknan(kn,为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0, 2(1且为常数qnqaann112 nnnaaa(2n，011nnnaaa)注：i. acb ，是 a、b、c 成等比的双非条件，即acb a、b、c 等比数列.ii. acb （ac0）为 a、b、c 等比数列的充分
5、不必要.iii. acb为 a、b、c 等比数列的必要不充分.iv. acb且0ac为 a、b、c 等比数列的充要.注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac0，则等比中项一定有两个.n ncqa(qc,为非零常数).正数列na成等比的充要条件是数列nxalog（1x）成等比数列.数列na的前n项和nS与通项na的关系： )2() 1(111 nssnasa nnn注： danddnaan111（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为 0，则是等差数列充分条件）.等差na前 n 项和ndandBnAnSn 221222d可以为零也可不为零为等差的充要条
6、件若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. 等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k2倍.,232kkkkkSSSSS；若等差数列的项数为 2Nnn，则，奇偶ndSS 1 nn aa SS偶奇 ；若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇， 1nn SS偶奇得到所求项数到代入12 nn. 3. 常用公式：1+2+3 +n = 21nn 61213212222nnnn 2213213333 nnn注：熟悉常用通项：9，99，999，110 n
7、na； 5，55，555，11095n na.4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为r1. 其中第n年产量为1)1 (nra，且过n年后总产量为：.)1 (1)1 ()1 (.)1 ()1 (12 rraarararaan n 银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为nra)1 ( 元. 因此，第二年年初可存款：)1 (.)1 ()1 ()1 (101112rararara=)1 (1)1 (1)1 (12rrra
8、 .分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清；r为年利率. 111111111121 mmm mmmm rrarxrrxraxrxrxrxra5. 数列常见的几种形式：nnnqapaa12（p、q 为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：写出特征方程qPxx2（2x对应2na，x 对应1na） ，并设二根21, xx若21xx 可设nn nxcxca2211.，若21xx 可设n nxncca121)(；由初始值21,aa确定21,cc.rPaann1（P、r 为常数）用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数 n 转化为nnnqaPaa12的形式，再用特征根
9、方法求na；1 21n nPcca（公式法） ，21,cc由21,aa确定.转化等差，等比：1)(11PrxxPxPaaxaPxannnn.选代法：rrPaPrPaannn)(21xPxaPrPPraann n1 11 1)(1)1(rrPaPnnPr2 11.用特征方程求解： 相减，rPaarPaannnn11 1na1111nnnnnnPaaPaPaPaa）（.由选代法推导结果：PrPPracPcaPracPrcnn n 11111 111 2121）（，.6. 几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值. 如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0
10、, 01nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的p值.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：,. 21) 12,.(413 ,211nn两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd ，的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n2 的任意自然数,验证)(11 nn nnaaaa为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212nnnaaaNn
11、aaannn)(22 1都成立。3. 在等差数列na中,有关 Sn 的最值问题：(1)当1a0,d0 时，满足 001mm aa的项数 m 使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三） 、数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于 1nnaac其中 na是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于nnba其中 na是等差数列， nb是各项不为 0 的等比数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.5.常用结论1）: 1+2+3+.+n = 2) 1( nn2） 1+3+5+.+(2n-1) =2n3）2 333) 1(2121 nnn 4） ) 12)(1(613212222nnnn 5） 111 ) 1(1 nnnn)211(21 )2(1 nnnn6） )()11(11qpqppqpq
