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1、线性代数习题课 吉林大学 术洪亮,第一讲 行 列 式,前面我们已经学习了关 于行列式的概念和一些基本 理论，其主要内容可概括为：,行列式,排列，逆序数，奇排列与偶排列,行 列 式 的 定 义,1行列式与它的转置行列式相等；,2互换行列式的两行（列），行列式变号；,3某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面；,4若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行列式可写成两个行列式的和；,5行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。,就是运用行列式的定义、性质、定理求行列 式的值，常用的方法有定义法、性质法、递 推法、数学归纳法、加边法、公式法等。,齐次线性方程组有非零解的充分必
2、要条件,克拉默法则,下面我们通过例题演示来进一步巩固所学内容，并更好地掌握解题方法与技巧，本章常见题型有填空题、计算题、证明题。,例1：问当i、j如何取值时，排列2 1 i 3 7 6 j 9 5为偶排列？,214376895 为奇排列与题矛盾。,应取i=8，j=4 此时排列 218376495 为偶排列。,J（214376895）=1+0+1+0+2+1+1+1=7,例2：求排列,的逆序数。,解：,解：,行标按自然排列，列标排列的逆序数为,的项前带正号。,行列式的项由不同行不同列的元素乘积构成，,i、j为2、4的取值,J（1 3 2 4）= 1 J（1 3 4 2）= 2,的项带负号，,含有
3、因子 的项为 -,例3：写出四阶行列式中含有因子 的项。,例4：在n阶行列式中，如果 等于零的元素比 n2- n还多，试证明此行列式的值为零。,元素比 n2- n还多，这说明 非零元素的个数比n2-（ n2- n）= n还少。,由于行列式的每一项都是不同行不同列 的n个元素的乘积，因此，每一项中至少含 有一个零元素，即所有项都为零，所以，行 列式的值为零。,证： n阶行列式中有n2个元素，等于零的,例5：,的充分必要条件？,解：,展开即有 -10的充分必要条件是, 1,例6：,已知四阶行列式D的第2行元素分别为：,-1，0，2，4； 第四行元素 的余子式依次为：,由行列式某行元素与另一行元素的
4、代数余,子式乘积之和为零，,而A41= -2 A42=4 A43= - A44=4,解：,例7：计算行列式,解：,例8：,解：第2列、第3列直到第n列， 依次乘以 1倍后加到第1列上去，得：,例9：,第n-1行（-1）倍加到第n行上，第（n-2）行（-1）倍加到第n-1行上，以此类推，直到第1行（-1）倍加到第2行上。,有时直接采用性质和展开定理计算不方便 可采用技巧便于计算。,例10：（加边法）,后加到第1列上去。,第2列、第3列 - - - 第n列，以次乘,例11：证明,证：当n=1时，,结论成立。,当n=2时，,结论成立。,假设当nk时结论成立，证n=k+1时亦成立。,所以当n=k+1时
5、结论成立，由此证得：,例12：求解方程组,解：因为系数行列式,所以，由克拉默法则知，方程组有唯一解,方程组的解为：,证： 当i=j时,则有 ，即反对称行列式D的对角线元素都为零。,例13：若n阶行列式 中元素满足则称D为n阶反对称行列式，试证奇数阶反对称行列式等于零。,各行都提出一个（-1），则,因为行列式与它的转置行列式相等,当n为奇数时，有 ，所以奇数阶反 对称行列式的值为零。,例14：问、取何值时，齐次线性方程组,有非零解。,解：对于方程个数与变量个数相同的齐次线性方程组，有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零。,r3+（-1）r2,r2+（-1）r3,c1+（-1）c3,所以当、满足=1或=0时，,方程组有非零解。,完,
