《高二数学北师大版选修4-4精品学案：1.章末小结 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学北师大版选修4-4精品学案：1.章末小结 （20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 本章介绍了平面直角坐标系的建立及平面直角坐标系中的伸缩变换，重点介绍了极坐标系的建立，极坐标和直角坐标的互化以及简单曲线极坐标方程的建立及其简单的应用，最后又简单介绍了柱坐标系和球坐标系，以及它们和空间直角坐标系的联系高考考查的主要问题有：平面直角坐标系与曲线方程1.利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的 x 轴，y 轴(坐标原点)2坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单设ABC 的周长为 18，|AB|8，求顶点 C 的轨迹方程【解】 以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示
2、的平面直角坐标系 xOy，则 A(4,0)、B(4,0)，设 C 点坐标为(x，y)，由此得：|CA|CB|10，又 10|AB|，所以 C 点轨迹是中心在原点，以 A、B 为焦点的椭圆，但应扣除其与 x 轴的交点，设其方程为：1(ab0)，由此得：a5，c4，x2a2y2b2b3，a2c25242故所求轨迹方程为：1(x5)x225y29极坐标与直角坐标的互化互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位互化公式为 xcos ，ysin 2x2y2 tan (x0)yx直角坐标方程化极坐标方程可直接将 xcos ，ysin 代入即可，而极坐标方
3、程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为 cos ，sin 的整体形式，然后用 x，y 代替较为方便，常常两端同乘以 即可达到目的，但要注意变形的等价性已知曲线 C1，C2的极坐标方程分别为 cos 3，4cos (0,0 )，则曲线 C1与 C2交点的极坐标为_2【解析】 Error!Error!4cos23.cos .320 ，2cos ， .326将 代入 4cos ，得 2，63C1与 C2交点的极坐标为(2， )36【答案】 (2， )36(2012安徽高考)在极坐标系中，圆 4sin 的圆心到直线 (R)的距离是_6【解析】 极坐标系中的圆 4sin 转化为平面直角坐标系中的一般方程
4、为：x2y24y，即 x2(y2)24，其圆心为(0,2)，直线 转化为平面直角坐标系中的方程6为 yx，即x3y0.333圆心(0,2)到直线x3y0 的距离为.3|03 2|393【答案】 3点的极坐标的建立与简单曲线的极坐标方程1点的极坐标的建立M 点到极点的距离为它的极径 ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 即为极角 .极径和极角确定，则点的极坐标确定，即为(，)一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一点，原点 O 的坐标(0，)，(R)和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定 0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示若
5、0 则0，我们规定 M(，)与(，)关于极点对称，因此(，)和(，)表示同一点点(，)关于极轴的对称点是(，)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(，)，关于极点的对称点为(，)2知道点的极坐标确定点的位置先确定点在哪一个圆上，即利用极径表示的是点到极点的距离；再确定点的具体位置，即利用极角表示的终边所在射线射线和圆的交点，即为该点的位置3简单曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程 (，)0，如果曲线 C 是由极坐标(，)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程 (，)0为曲线 C 的极坐标方程由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不
6、同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程例如：对极坐标方程 ，点 M( ， )，可以表示为( ， 2)或( ， 2)等多种形333333式，其中 有( ， )的形式满足方程33对于曲线的极坐标方程，(，)0，若 (，)(，)，则相应图形关于极轴对称；若 (，)(，)，则图形关于 所在直线对称；2若 (，)(，)，则图形关于极点 O 对称(1)圆的极坐标方程半径为 r 的圆的圆心坐标为(r,0)(r0)的极坐标方程为 2rcos .圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 r.圆心在过极点且垂直极轴的直线上，且过极点的圆(半径
7、为 r)的极坐标方程 2rsin .已知圆心在(1，1)，半径为 r，此圆的极坐标方程为 221cos(1)(12r2)0.(2)直线的极坐标方程直线的一般方程为 cos()a，其中 a 为极点 O 到直线 l 的距离， 为极轴 Ox与 ON 之间的夹角如图 11 所示：图 11直线 l 与极轴垂直时，其方程为 cos a.如图 12 所示：图 12直线 l 与极轴平行时，其方程为 sin a.如图 13 所示：图 13直线 l 过极点时，其方程为 (R)如图 14 所示：图 14射线方程为 (0)如图 15 所示：图 15直线 l 过点 P(1，1)且与极轴所成的角为 ，则 l 的极坐标方程
8、为 sin()1sin(1)如图 16 所示：图 16圆心为 C(3， )，半径为 3 的圆的极坐标方程是什么？6【解】 法一 设圆心 C 的直角坐标为(x0，y0)，则 x03cos ，y03sin .63 32632所以圆的方程为(x)2(y )29，3 3232即 x2y23x3y0，3所以 23cos 3sin ，3即 6cos( )6法二 如图，设圆上任一点为 P(，)，则|OP|，POA ，|OA|236.6在 RtPOA 中，|OP|OA|cosPOA，则 6cos( )，6即圆的极坐标方程为 6cos( )6在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
9、系曲线 C 的极坐标方程为 cos( )1，M、N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点3(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M、N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程【解】 (1)由 cos( )1，得 ( cos sin )1.31232从而 C 的直角坐标方程为 xy1，1232即 xy2.3当 0 时，2，得 M(2,0)；当 时，得 N(， )22 332 332(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为(0，)2 33所以 P 点的直角坐标为(1，)，则 P 点的极坐标为(， )332 336所以直线 OP 的极坐标方程为 ，R.6数形
10、结合思想运用坐标方法研究曲线的形状与性质是典型的数形结合思想的体现坐标系的建立，使直观的几何图形用数量运算得以完美实现某海滨城市附近海面出现台风据监测，当前台风中心位于城市O(如图 17)的东偏南 (cos )方向 300 km 的海面 P 处，并以 20 km/h 的速度向西偏210北 45方向移动台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km，并以 10 km/h 的速度不断增大问：几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到侵袭持续多长时间？图 17【解】 法一 坐标法以 O 为原点，正东方向为 x 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示在时刻 t(h)台风中心 P( ， )的坐标为xyEr
11、ror!Error!此时台风侵袭的区域是(x )2(y )2r(t)2，其中 r(t)10t60.xy若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有(0 )2(0 )2(10t60)2，xy即(30020t)2(30020t)2(10t60)2.210227 21022化简整理得 t236t2880，解得 12t24.所以 12 小时后该城市开始受到台风的侵袭，持续时间为 12 小时法二 解三角形法假设经过 t 小时后，台风中心位置从 P 处转移到 P处，由于OPB，且 cos cos 45，21022所以 45，连接 OP，在OPP中，OP300，PP20t，cosOPPcos(45)cos
12、cos 45sin sin 45 .210227 2102245由余弦定理，得 OP23002(20t)2230020t .45若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有OP2(6010t)2，即 3002(20t)2230020t (6010t)2.45化简，得 t236t2880，即(t12)(t24)0，解得 12t24.答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭，持续时间为 12 小时转化与化归思想转化与化归具体体现为化未知为已知，化抽象为具体，化一般为特殊，如本章中直角坐标与极坐标，直角坐标方程与极坐标方程，空间直角坐标与柱坐标、球坐标的互化等都是这种思想的体现求经过极点 O(0,0
13、)，A(6， )，B(6，)三点的圆的极坐标方程2294【解】 将点 O，A，B 的极坐标化为直角坐标，分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故OAB是以 OB 为斜边的等腰直角三角形，所以过这三点的圆的圆心为(3,3)，半径为 3，2所以圆的直角坐标方程为(x3)2(y3)218，即 x2y26x6y0.将 xcos ，ysin 代入上述方程，得 26(cos sin )0，即 6cos( )24已知极坐标方程 C1：10，C2：sin( )6，3(1)化 C1、C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；(2)求 C1、C2交点间的距离【解】 (1)由 C1：10，得 2100
14、，x2y2100，所以 C1为圆心在(0,0)，半径等于 10 的圆由 C2：sin( )6，得3( sin cos )6.1232yx12，即xy120.33所以 C2表示直线(2)由于圆心(0,0)到直线xy120 的距离为3d6r10，12 3212所以直线 C2被圆截得的弦长为2216.r2d210262分类与整合思想许多数学问题因其字母取值范围的不同，或其中几何图形的相关位置不同等，分别会得出不同的结果解题时往往需要化整为零，逐个分类再加以整合，这种思想方法就是分类与整合的思想根据曲线的极坐标方程 mcos23sin26cos 0(mR)，判断曲线的类型【解】 将极坐标方程 mcos23sin26cos 0 两边同乘以 得m2cos232sin26cos 0，Error!Error!mx23y26x0.当 m3 时，直角坐标方程为 x2y22x0，曲线为圆；当 0m3 或 m3 时，直角坐标方程
