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1、1高等数学部分第一部分 函数、 极限11）若x 0时，(1 ax2)1 4 1与xsinx是等价无穷小， 则a=.【解】(1 ax2)1 4 1 = 1 1 4ax2+ o(x2) 1 =1 4ax2+ o(x2); xsinx =x2+ o(x2),故: a = 42）当x 0时，f(x) = x sinax与g(x) = x2ln(1 bx)等价无穷小， 则a，b=【解】f(x) = xsinax = x(ax)+1 3!(ax)3+o(x3); g(x) = x2ln(1bx) =bx3+ o(x3),所以, a = 1，b = 1/62.【解】1)limx0(cosx)1 ln(1+x
2、2)= elimx0ln(cos x ln(1+x2)= elimx0tan x) 2x (1+x2)=e ,2) limx01 x3(2+cosx 3)x 1 = limx0ex ln(2+cos x 3)1x3= limx0ln(2+cos x3) x2= limx0ln(1+cos x13) x2= limx0cosx1 3x2= 1/6,3)limx0(1 sin2xcos2x x2) = limx0(1+cos2x sin2xcos2x x2) = limx0(1+cos2x(1 sin2x1 x2)= limx0(1 + cos2x(x2sin2x x2sin2x) = limx0
3、(1 1 48cos2x(x4 x2sin2x) = 1 1/484) limx0sinxsin(sinx)sinx x4= limx0sinxsinx+16sin3x+o(x3)x3= 1/6,5) limx01 + In(1 + x)2 x= lim x01 + In(1 + x)1 In(1+x)2In(1+x) x= e2.6) limx0(1+x 1ex1 x) = limx0ex+x+x21 (1ex)x=7) limx0xln(1+x) 1cosx= limx0xx 0.5x2= 0.53.当x 0+时， 与x等价的无穷小量是(A) 1 ex. (B) ln1+x 1x. (C)
4、1 +x 1. (D) 1 cosx【解】(B)因为1ex x；1 +x1 0.5x; 1cosx 0.5x4.设常数a =1 2， 则limnIn( n2na+1 n(12a)n =.【解】1 12a 5.若limx0sinx exa(cosx b) = 5， 则a =, b =.【解】a = 1;b = 46.设函数f(x) =1etan x arcsinx 2,x 0ae2x,x 0在x = 0处连续， 则a =.【解】a = 27.设有两个数列an,bn， 若limnan= 0， 则（）(A)当n=1bn收敛时，n=1anbn收敛.(B)当n=1bn发散时，n=1anbn发散.1(C)
5、当n=1|bn|收敛时，n=1a2nb2n收敛.(D)当n=1|bn|发散时，n=1a2nb2n发散.【解】(C)8.设an,bn,cn均为非负数列,且limnan= 0, limnbn= 1, limncn=,则必有(A)an 0的直线，同理在x 2时为水平线。 故D正确。则函数F(x) =x0f(t)dt的图形为16.设数列xn满足0 218设函数f(x) =x20ln(2 + t)dt则f(x)的零点个数为：(A)0，(B)1，(C)2，(D)3.【解】(B)191)设y = (1 + sinx)x,则dy|x=.2)设y = arctanex ln e2x e2x+1,则dy dx|x
6、=1=.【解】1)y = (1+sinx)x= exln(1+sinx),所以y= exln(1+sinx)(ln(1+sinx)+xcosx 1+sinx).故：dy|x= y|x=dx = dx2)y = arctanex ln e2x e2x+1= arctanex+ 0.5ln(e2x+ 1),所以：y=ex 1+e2x+ 0.52e2x e2x+1=ex1 1+e2x,故：dydx|x=1=e1 1+e2 20 设函数y = f(x)由方程xy + 2Inx = y4所确定,则曲线y = f(x)在 点(1,1)处的切线方程是.3【解】函数y = f(x)由方程xy + 2Inx =
7、 y4所确定, y + xy+2 x=4y3y,故：(1,1)点处的导数为：1+y+2 = 4y,即：y= 1,在点(1,1)处的切线 方程是y = x21曲线sin(xy) + ln(y x) = x在点(0,1)处的切线方程为【解】因为：sin(xy) + ln(y x) = x，所以cos(xy)(y + xy) +y1 yx=1,故：(0,1)点处的导数为：1 + y 1 = 1,即：y= 1,在点(0,1)处的切线方程 是y = x + 122设f(x)为不恒等于零的奇函数， 且f(0)存在， 则函数g(x) =f(x) x (A) x = 0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x =
8、 0.(C) x = 0处右极限不存在.(D)有可去间断点x = 0【解】(D)23 设函数f(x) =?x3 1?(x),其中(x)在x = 1处连续,则(1) = 0是f(x)在x = 1可导的(A)充要条件.(B)必要但非充分条件.(C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件.【解】(A)24设函数f(x) = limnn 1 + |x|3n,则f(x)在(,+)内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.【解】(C)分别是：1，-125设函数f(u)可导, y = f(x2)当自变量x在x = 1处取得增量x = 0.1时,相应的函
9、数增量y的线性主部为0.1,则f(1) =.(A) 1，(B)0.1，(C)1，(D)0.5【解】(A)26设函数f(x)在(0,+)上具有二阶导数，且f(x) 0.令un=f(n)(n = 1,2, ,),则下列结论正确的是：(A)若u1 u2， 则un必收敛. (B)若u1 u2， 则un必发散.(C)若u1 0,F(x2) 0),内可导.且lim x0+f(x) = A， 则f+(0)存在， 并且f+(0) = A.【证明】由定义可以证得。34设函数f(x)连续,且f(0) 0,则存在 0,使得(A) f(x)在(0,)内单调增加.(B) f(x)在(,0)内单调减少.(C)对任意的x
10、(0,)有f(x) f(0).(D)对任意的x (,0)有f(x) f(0). 【答】:(C)35设函数y = f(x)在(0,+)内有界且可导,则(A)当limx+f(x) = 0,必有limx+f(x) = 0.5(B)当limx+f(x)存在时,必有limx+f(x) = 0.(C)当limx0+f(x) = 0时,必有limx0+f(x) = 0.(D)当limx0+f(x)存在时,必有limx0+f(x) = 0.【答】:(B)36以下四个命题中， 正确的是(A)若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界.(B)若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有
11、界.(C)若f(x)在(0,1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界.(D)若f(x)在(0,1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界.【答】:(C)38当a取下列哪个值时,函数f(x) = 2x3 9x2+ 12x a恰有两个不 同的零点(A)2(B)4(C)6(D)8【答】:(D)37.设函数f(x)在(,+)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.【答】:(C)38设f(x) = |x(1 x)|， 则(A) x = 0是f(x)的极值点,但(0,0
12、)不是曲线y = f(x)的拐点.(B) x = 0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y = f(x)的拐点.(C) x = 0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y = f(x)的拐点.(D) x = 0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y = f(x)的拐点.【答】:(C)39 已知函数f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(0) = 0,f(1) = 1. 证明1)存在 (0,1),使得f() = 1 ;2)存在两个不同的点, (0,1),使得f()f() = 1.【证明】: 1)令：g(x) = f(x) + x 1,则：g(0) = 1,g(1) = 1,所
13、以：存在 (0,1),使得g() = 0,即：f() = 1 .2)分别在区间0,1上应用拉格朗日中值定理即可证得。40 设函数f(x)在0,3上连续， 在(0,3)内可导， 且f(0)+f(1)+f(2) = 3,f(3) = 1.试证必存在 (0,3),使f() = 0.【证明】:函数f(x)在0,3上连续，所以函数f(x)在0,2上连续，在0,2上有最大最小值M,m,即：m f(0),f(1),f(2) M，故m 1 3(f(0) +6f(1) + f(2) M,由介值定理得存在c (0,2)，使得f(c) = 1,故在c,3上， 由f(c) = 1 = f(3)即可完成证明。41设(x
14、) =1 x+1 sinx1 (1x),x (0,1 2,试补充定义f(0),使得f(x) 在0,1 2上连续 【解】:因为limx0+f(x) = 1 所以补充定义f(0) = 1 即可。 42 设函数f(x)在x = 0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(x),(0) = 0, 若af(h) + bf(2h) f(0)在h 0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值.【解】:因为af(h) + bf(2h) f(0)在h 0时是比h高阶的无穷小,所 以0 = lim h0(af(h) + bf(2h) f(0) = (a + b 1)f(0),f(0) = 0,所以a + b = 1, 又：0
15、 = lim h0(af(h)+bf(2h)f(0)/h) = (a+2b)f(0),f(0) = 0,所以a+2b =0,得：a = 2,b = 143.设4 e2(b a) 【证明】:令g(x) = ln2x 4 e2x,讨论g(x)即可证得。 44.设0 1的最小值， 令t(a) = 1lnlnaaln2a= 0,得： 唯一一驻点a = ee,此 时，t = 1 e1为最小值。46.函数f (x)连续，F (x) =x0f (t)dt，证明F (x)可导，且F(x) =f (x).【证明】:教材上的定理， 略去证明。47.设某商品需求量Q是价格P的单调减少函数:Q = Q(P) .其需求弹性 =2P2 192P2. 1)设R为总收益函数,证明dRdP= Q(1 );2)求P = 6时,总收益对价格的弹性,并说明其经济意
