《高中数学（北师大版）教学设计 必修一：3-4对数（三）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（北师大版）教学设计 必修一：3-4对数（三）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、教学设计教学设计换底公式换底公式导入新课导入新课 思路 1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a0，且 a1，c0，且c1，b0，logab.教师直接点出课题logcblogca思路 2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容教师板书课题思路 3.从对数的定义可以知道，任意不等于 1 的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底
2、的对数转换为以 10 为底或以 e 为底的对数就能方便地求出任意不等于 1 的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题推进新课推进新课 Error!Error!已知lg 20.301 0，lg 30.477 1，求log23的值. 根据，如a 0，a 1，你能用含a的对数式来表示log23吗？更一般地，我们有logablogcblogca，如何证明？证明logablogcblogca的依据是什么？ 你能用自己的话概括出换底公式吗？ 换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学
3、生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力对目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对参考的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对借助的思路，利用对数的定义来证明；对根据证明的过程来说明；对抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了讨论结果：因为 lg 20.301 0，lg 30.477 1，根据对数的定义，所以 100.301 02,100.477 13.不妨设 log23x，则 2x3，所以(100.301 0)x100.477 1，1
4、00301 0x100.477 1，即 0.301 0x0.477 1，x.0.477 10.301 0lg 3lg 2因此 log231.585 1.lg 3lg 20.477 10.301 0根据我们看到，最后的结果是 log23 用 lg 2 与 lg 3 表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以 2 为底的对数转换成了以 10 为底的对数，不妨设 log23x，由对数定义知道，2x3，两边都取以 a 为底的对数，得loga2xloga3，xloga2loga3，x，也就是 log23.loga3loga2loga3loga2这样 log23 就表示成了以 a 为底的 3
5、 的对数与以 a 为底的 2 的对数的商证明 logab.logcblogca证明：设 logabx，由对数定义知道，axb；两边取 c 为底的对数，得 logcaxlogcbxlogcalogcb；所以 x，即 logab.logcblogcalogcblogca一般地，logab(a0，a1，b0，c0，c1)称为对数换底公式logcblogca由的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M0，N0，MN，则 logaMlogaN.一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商换底公式的意义就在于把对数
6、式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值说明：我们使用的计算器中， “log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数如 log23，lg 3lg 2即计算 log23 的值的按键顺序为：“log”“3”“”“log”“2”“” 再如：在前面要求我国人口达到 18 亿的年份，就是要计算 xlog1.01，1813所以 xlog1.0132.883 733 年1813lg1813lg 1.01lg 18lg 13lg 1.011.255 31.1390.043可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多Error!思路 1例
7、1 计算：(1)log927；(2)log89log2732.活动：活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2 为底的对数，以 3 为底的对数也可(1)解：解：log927 .log327log3932(2)解法一：log89log2732.lg 9lg 8lg 32lg 272lg 33lg 25lg 23lg 3109解法二：log89log2732.log29log28log232log2272log23353log23109解法三：log89log2732.log39lo
8、g38log332log32723log325log323109点评：点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键例 2 用科学计算器计算下列对数(精确到 0.001)：log248；log310；log8；log550；log1.0822.解：解：log2485.585；log3102.096；log80.550；log5502.431；log1.08228.795.例 3 (1)证明1logab；logaxlogabx(2)已知 loga1b1loga2b2loganbn，求证：loga1a2an(b1b2bn).活动：活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以
9、a 为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解(1)证法一：设 logaxp，logabxq，logabr，则 xap，x(ab)qaqbq，bar.所以 ap(ab)qaq(1r)，从而 pq(1r)因为 q0，所以 1r，即1logab(获证)pqlogaxlogabx证法二：左边logaab1logab右边logaxlogabxlogxablogxa(
10、2)证明：因为 loga1b1loga2b2loganbn，所以由换底公式得.lg b1lg a1lg b2lg a2lg bnlg an由等比定理，所以.所以.lg b1lg b2lg bnlg a1lg a2lg anlgb1b2bnlga1a2an所以 loga1a2an(b1b2bn).lgb1b2bnlga1a2an点评：点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简例 4 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的 84%，估计约经过多少年
11、，该物质的剩留量是原来的一半(结果保留 1 个有效数字)活动：活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项根据题目给出的数学模型及其含义来解决这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时要使实际问题有意义解：解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y.则经过 1 年，剩留量是 y0.84；经过 2 年，剩留量是 y0.842；经过 x 年，剩留量是 y0.84x.方法一：根据函数关系式列下表根据表内数据描点画出函数的图像x01235y0.84x10.840.710.590.42从图中
12、观察，y0.5 时对应有 x4，即约经过 4 年，该物质的剩留量是原来的一半方法二：依题意得 0.84x0.5，用科学计算器计算得xlog0.840.53.98，ln 0.5ln 0.84即约经过 4 年，该物质的剩留量是原来的一半图 2点评：点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点思路 2例 1 (1)已知 log23a，log37b，用 a，b 表示 log4256.(2)若 log83p，log35q，求 lg 5.活动：活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示对(1)据题目的特点，底数不同，所以考
13、虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决解：解：(1)因为 log23a，则 log32，又因为 log37b，1a所以 log4256.log356log342log373log32log37log321ab3aba1(2)因为 log83p，即 log233p，所以 log233p.所以 log32.13p又因为 log35q，所以 lg5.log35log310log35log32log353pq13pq点评：点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.变式训练变式训练已知 l
14、og189a,18b5，用 a，b 表示 log3645.解：解：因为 log189a，所以 log181log182a.所以 log1821a.182因为 18b5，所以 log185b.所以 log3645.log1845log1836log189log1851log182ab2a点评：点评：在解题过程中，根据问题的需要，指数式转化为对数式，或对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现，转化思想是中学中重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用.例 2 设 x，y，z(0，)，且 3x4y6z.(1)求证： ；(2)比较 3x,4y,6z 的大小1x12y1z活动：活动：学
15、生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导(1)利用对数的定义把 x，y，z 表示出来，根据对数的定义把 3x4y6z转化为指数式，求出x，y，z，然后计算(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较(1)证明：设 3x4y6zk，因为 x，y，z(0，)，所以 k1.取对数，得x，y，z，lg klg 3lg klg 4lg klg 6所以 ，1x12ylg 3lg klg 42lg k2lg 3lg 42lg k2lg 32lg 22lg klg 6lg k1z即 .1x12y1z(2)解：解：因为 3x4ylg klg k0，(3lg 34lg 4)lg 64lg 81lg3lg 4lg klg6481lg 3lg 4所以 3x4y.又因为 4y6zlg klg k0，(4lg 46lg 6)lg 36lg 64lg 2lg 6lg klg916lg 2lg 6所以 4y6z.所以 3x4y6z.点评：
