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1、教学设计教学设计22 指数运算的性质指数运算的性质导入新课导入新课 思路 1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数对无理数指数幂，也是这样扩充而来既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题指数运算的性质思路 2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种
2、简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数运算的性质推进新课推进新课 Error!Error!我们知道1.414 213 56，那么 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，是的什么近似值？22而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，是的什么近似值？2多媒体显示以下图表：同学们从下面的两个表中，能发现什
3、么样的规律？的过剩近似值25的近似值21.511.180 339 891.429.829 635 3281.4159.750 851 8081.414 39.739 872 621.414 229.738 618 6431.414 2149.738 524 6021.414 213 69.738 518 332 1.414 213 579.738 517 8621.414 213 5639.738 517 752的近似值25的不足近似值29.518 269 6941.49.672 669 9731.419.735 171 0391.4149.738 305 1741.414 29.738 46
4、1 9071.414 219.738 508 9281.414 2139.738 516 7651.414 213 59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562你能给上述思想起个名字吗？一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，根据你学过的知识，能25作出判断并合理地解释吗？借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：问题从近似值的分类来考虑，一方面从大于的方向，另一方面从小于的方向22问题对图表的观察一方面从上
5、往下看，再一方面从左向右看，注意其关联问题上述方法实际上是无限接近，最后是逼近问题对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释问题在的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般讨论结果：1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，这些数都小于，称的不足近似值，而221.42,1.415,1.414 3,1.414 22，这些数都大于，称的过剩近似值22第一个表：从大于的方向逼近时，就从 51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，即大2225于的方向逼近.2525第二个表：从小于的方向逼近时，就从 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.
6、414 21，即小于2225的方向逼近.2525从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，即小于的方向接近，而另一方面从2525252551.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，即大于 5的方向接近 5，可以说从两个方向无限地接近22，即逼近，所以是一串有理数指数幂 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，和另一串有理252525数指数幂 51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，按上述变化
7、规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是一2525定是一个实数，即 51.451.4151.41451.414 251.414 2151.414 2251.414 25351.41551.4251.5.充分表明是一个实数，再如，3等都是实数25(12)3逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识根据我们可以推断是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数25无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂 a(a0， 是无理数)是一个确定的实数也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，
8、在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂Error!1为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？2无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？3你能给出实数指数幂的运算法则吗？活动：活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂 a(a0， 是无理数)是一个确定的实数，那么无理数指
9、数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若 a1，那么 a是1 还是1 就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂 a是一个确定的实数，就不会再造成混乱(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：arasars(a0，r，s 都是无理数)(ar)sars(a0，r，s 都是无理数)(ab)rar
10、br(a0，b0，r 是无理数)(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂实数指数幂的运算性质：对任意的实数 r，s，均有下面的运算性质：arasars(a0，r，sR)(ar)sars(a0，r，sR)(ab)rarbr(a0，b0，rR)Error!思路 1例 1 在实数范围内，对比(ab)nanbn和n(其中 a0，b0，b0)，说明后者可(ab)anbn以归入前者解：解：n(ab1)nanbn，因此，性质n可以归入性质(ab)nanbn.(ab)anbn(ab)anbn例 2 化简(式中字母均为正实数)：(1)3x(2xyz)；22(2)(y)(4y)1 ax活动
11、：活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)(2)由里向外，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律解：解：(1)3x(2xyz)(32)xyz6yz；2222(2)()(4y)yy4xy4x.1 ax y1 4ax点评：点评：注意运算性质的应用例 3 已知 103,104，求 10，10，102，.510活动：活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应利用运算性质，然后再求值，要有预见性
12、，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示解：解：1010103412；10 ；101034102(10)232 ；19(10) .5101 51 54点评：点评：运用整体思想和运算法则是解决本题的关键，要深刻理解这种做法思路 2例 1 计算：(1)()021；614333840.062 55(2)2；2 3125(12)1 3343(127)1 3(3)()()；11 342x y21 323x y(4)()()11 22xy11 44xy活动：活动：学生观察、思考，根式化成分数指数，利用幂的运算性质解题，另外要注意整体的意识，教师有针对性地提示引导，对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行
13、，对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行，对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行，对(4)要利用平方差公式先因式分解，并对学生作及时的评价解：解：(1)()021614333840.062 55(0.062 5)111 232527 481 412112312344531(0.5)222 0.5 5.523212(2)22 3125(12)1 33431 31 27(53)(21)22 33(5 )1 33(7 )1 33(3 )22(1)32335133713 ()3 2547333.(3)()()(23)()11 342x y21 323x y1211 3342x xyy121113
14、 3 3342466xyx y 6.4x33y(4)()()()11 22xy11 44xy11 44xy()()()11 44xy11 44xy11 44xy.11 44xy点评：点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式例 2 化简下列各式：(1)；2222 33xyxy2222 33xyxy(2)(a3a3)(a3a3)活动：活动：学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两题要注意分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示：对(1)考查 x2与的关系可知 x2()3，立方关系就出来了，公式便可运用，对(2)先利用平方差，2
15、3x2 3x再利用幂的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论交流解：解：(1)原式22 333322 33()()xyxy22 333322 33()()xyxy()2()22 3x22 33xy2 3y424424 333333()()xxyyxxyy.23 32()2xyxyxy (2)原式a23a23a4a41aa1a2a2a4a41a4a41aa1aa1.a2a12aa1点评：点评：注意立方和、立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、差公式，平方差公式一般在使用中一目了然，而对立方和、立方差公式却一般不易观察到，()3还3 2a1 2a容易看出，对其中夹杂的数字 m 可以化为 mm，需认真对待，要在做题中不断地提11
