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1、1【三维设计三维设计】2015】2015 高中数学高中数学 第三章第三章 不等式学案不等式学案 新人教新人教 A A 版必修版必修 5 5_3.1 不等关系与不等式不等关系与不等式提出问题在日常生活中，我们经常看到下列标志：问题 1：你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？提示：最低限速：限制行驶时速v不得低于 50 公里；限制质量：装载总质量G不得超过 10 t；限制高度：装载高度h不得超过 3.5 米；限制宽度：装载宽度a不得超过 3 米；时间范围：t7.5,10问题 2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：v50；G10；h3.5；a3；7.5t10.导入新知不等式的概
2、念我们用数学符号“” 、 “” 、 “” 、 “” 、 “”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系含有这些不等号的式子叫做不等式化解疑难1不等关系强调的是关系，可用符号“” “” “” “” “”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“ab” “ab” “ab” “ab” “ab”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。2不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超小于，低于，少大于等于，至少，小于等于，至多，2过于不低于不多于，不超过符号语言两实数大小的比较提出问题实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数
3、大问题 1：怎样判断两个实数a、b的大小？提示：若ab是正数，则ab；若ab是负数，则abab0ab，bc，则ac，对吗？为什么？提示：正确ab，bc，ab0，bc0.(ab)(bc)0.即ac0.ac.问题 2：若ab，则acbc，对吗？为什么？提示：正确ab，ab0，acbc0即acbc.问题 3：若ab，则acbc，对吗？试举例说明提示：不一定正确，若a2，b1，c2 正确c2 时不正确导入新知3不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc.推论(同向可加性)：Error!acbd；(4)可乘性：Error!acbc；Error!acbd；(5)正数乘方性：a
4、b0anbn(nN N*，n1)；(6)正数开方性：ab0(nN N*，n2)nanb化解疑难1在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件2要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性用不等式(组)表示不等关系例 1 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，有9 名驾驶员此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不等式解 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆由题意得Error!即Error!类题通法用不等式表
5、示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系(2)找出体现不等关系的关键词：“至少” “至多” “不少于” “不多于” “超过” “不超过”等用代数式表示相应各量，并用关键词连接特别需要考虑的是“” “”中的“”能否取到活学活用1用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：(1)限速 80 km/h 的路标；(2)桥头上限重 10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不多于 2.5%，蛋白质的含量p不少于 2.3%.4解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h，则v80.(2)设汽车的重量为吨，则10.(3)Error!比较两数(式)的大小例 2 比较
6、下列各组中两个代数式的大小：(1)x23 与 2x；(2)已知a，b为正数，且ab，比较a3b3与a2bab2的大小解 (1)(x23)2xx22x32220，(x1)x232x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)，a0，b0，且ab，(ab)20，ab0.(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.类题通法比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论这种比较大小的方法通常称为
7、作差比较法其思维过程：作差变形判断符号结论，其中变形是判断符号的前提活学活用2比较x36x与x26 的大小解：(x36x)(x26)x3x26x6x2(x1)6(x1)(x1)(x26)x260.当x1 时，(x1)(x26)0，5即x36xx26.当x1 时，(x1)(x26)0，即x36xx26.当x1 时，(x1)(x26)0，即x36xx26.不等式的性质例 3 已知ab0，cd0，e0，求证：.e ace bd证明 cd0，cd0，又ab0，a(c)b(d)0，即acbd0，0，1 ac1 bd又e0，.e ace bd类题通法利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质
8、及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 活学活用3已知ab，mn，p0，求证：napmbp.证明：ab，又p0，apbp.apbp，又mn，即nm.napmbp.64.探究利用不等式性质求取值范围典例 已知 1a4,2b8.试求 2a3b与ab的取值范围解 1a4,2b8，22a8,63b2482a3b32.2b8，8b2.又1a4，1(8)a(b)4(2)，即7ab2.故 2a3b的取值范围是(8,
9、32)，ab的取值范围是(7,2)【探究一】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围【探究二】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性在本例条件下，求 的取值范围a b解2b8， ，1 81 b1 2而 1a4，1 a 4 ，即 2.1 81 b1 21 8a b故 的取值范围是( ，2)a b1 8探究三不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的
10、正负例：已知6a8,2b3，求 的取值范围a b解：因6a8,2b3. ，1 31 b1 27(1)当 0a8 时，0 4；a b(2)当6a0 时，3 0.a b由(1)(2)得：3 4.a b探究四利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数例 已知1ab1,1a2b3，求a3b的取值范围解 设a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b，解得1 ，2 .5 32 3又 (ab) ，2 (a2b) ，所以a3b1.5 35 35 32 32 311 3(注：本题可以利用本章第三节内容求解)随堂即时演练1完成一项装修工程，请木工共需付工资每人 500 无，请瓦工共需付工资每人 400
11、 元，现有工人工资预算 20 000 元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( )A5x4y200 B5x4y200C5x4y200D5x4y200解析：选 D 据题意知，500x400y20 000，即 5x4y200，故选 D.2若x2 且y1，则Mx2y24x2y的值与5 的大小关系是( )AM5 BM5CM5DM5解析：选 A M(5)x2y24x2y5(x2)2(y1)2，x2，y1，(x2)20，(y1)20，因此(x2)2(y1)20.故M5.3如果ab，那么c2a与c2b中较大的是_解析：c2a(c2b)2b2a2(ba)0.答案：c2b84若10ab8，则|a|b的取
12、值范围是_解析：10a8，0|a|10，又10b8，10|a|b18.答案：(10,18)5(1)已知x1，比较 3x3与 3x2x1 的大小；(2)若1ab0，试比较 ，a2，b2的大小1 a1 b解：(1)3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(x1)(3x21)x1，x10.又 3x210，(x1)(3x21)0，3x33x2x1.(2)1ab0，ab0，a2b20.ab0，ab0，1 ab1 ab即 0 ，1 a1 ba2b2 .1 a1 b课时达标检测一、选择题1设Mx2，Nx1，则M与N的大小关系是( )AMN BMNCMND与x有关解析：选 A MNx
13、2x1(x )2 0.1 23 4MN.2某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于 95 分，文化课总分y高于380 分，体育成绩z超过 45 分，用不等式(组)表示就是( )A.Error! B.Error!9C.Error! DError!解析：选 D 由题中x不低于 95 即x95，y高于 380 即y380，z超过 45 即z45.3若abcd0，且a0，bc，d0，则( )Ab0，c0 Bb0，c0Cb0，c0D0cb或cb0解析：选 D 由a0，d0，且abcd0，知bc0，又bc，0cb或cb0.4设，则 2的范围是( )(0， 2)0， 2 3A.B(0，5 6)( 6，56)C. D(0，)( 6，)解析：选 D 02，0， 3 60，由同向不等式相加得到2. 6 3 6 35已知：a，b，c，dR R，则下列命题中必成立的是( )A若ab，cb，则acB若ab，则cacbC若ab，cd，则 a cb dD若a2b2，则ab解析：选 B 选项 A，若a4，b2，c5，显然不成立，选项 C 不满足倒数不等式的条件，如ab0，c0d时，不成立；选项 D 只有ab0 时才可以否则如a1，b0 时不成立，故选 B.二、填空题6比较大小：a2b2c2_
