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1、汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！12017 届学科网高三数学届学科网高三数学 33 个黄金考点总动员个黄金考点总动员考点考点 16 平面向量的数量积平面向量的数量积【考点剖析】1.1.最新考试说明：最新考试说明：（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系2.2.命题方向预测：命题方向预测：向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题 目平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质
2、等，常以客观题形式命题；解答题常与三角函数、解析几何等交汇命题 ，重视数形结合与转化化归思想的考查3.3.课本结论总结：课本结论总结：（1）两个向量的夹角定义：已知两个非零向量a a和b b，作a a，b b，则AOB叫做向量a a与b b的夹角OA OB 范围：向量夹角的范围是 0180,a a与b b同向时，夹角0；a a与b b反向时，夹角180.向量垂直：如果向量a a与b b的夹角是 90，则a a与b b垂直，记作a ab b.（2）平面向量数量积已知两个非零向量a a与b b，则数量|a|b|cos 叫做a a与b b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a a与b
3、 b的夹角规定 00a a0.向量的投影：|叫向量在向量方向上的投影来源:Z*xx*k.Combcosba当a ab b时，90，这时a ab b0.a ab b的几何意义：数量积a ab b等于a a的长度| |a a|与b b在a a的方向上的投影| |b b| |cos 的乘积（3）向量数量积的性质来源:Z#xx#k.Com如果e e是单位向量，则a ae ee ea a.汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！2a ab ba ab b0.a aa a| |a a| |2 2，.来源:学科网 ZXXK|a |=a acos .(为a a与b b的夹角)a b |a |b| |a
4、ab b|a a|b b|.|.（4）数量积的运算律交换律：a ab bb ba a.分配律：( (a ab b)c ca ac cb bc c. . 来源来源:Z+xx+k.Com:Z+xx+k.Com对R，(a ab b)(a a)b ba a(b b)（5）数量积的坐标运算设a a(a1，a2)，b b(b1，b2)，则：a ab ba1b1a2b2.a ab ba1b1a2b20.|a a|.a2 1a2 2cos .(为a a与b b的夹角)a b |a |b|1 1222222 1212aba baabb4.4.名师二级结论：名师二级结论：(1)向量 b b在a a的方向上的投影为
5、| |b b| |cos =.|a b a （2）若向量a ab b，且，且b b=，则可设a=a=.11( ,)x y11(,)xy5.5.课本经典习题：课本经典习题：(1)新课标 A 版第 108 页，习题 2.4A 组第 3 题已知|=2，|=5，=-3，求|+|,|-|.a b a b a b a b【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量模的典型题.(2) 新课标 A 版第 108 页，习题 2.4A 组第 7 题已知|=4，|=3，(2-3)(2+)=61，求与的夹角.a b a b a b a b【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量夹角的典型题.6.6.考点交汇展示：考点交汇
6、展示： 来源来源: :学科网学科网 (1)(1)与平面几何交汇与平面几何交汇【2016 高考天津 理数】已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点ED,分别是边BCAB,的中点，连接汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！3DE并延长到点F，使得EFDE2，则BCAF 的值为（ ）（A）85（B）81（C）41（D）811(2)(2)与不等式交汇与不等式交汇1.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）, a b A B| |a ba b | |ababC D22()|abab22()()ab abab 2.【2016 高考浙江理数】已知向量a a、b b, a a =1，b b =2，若
7、对任意单位向量e e，均有 a ae e+b be e6 ,则a ab b的最大值是 （3 3）与函数交汇）与函数交汇【2016 高考浙江文数】已知平面向量a a，b b，|a a|=1，|b b|=2，a ab b=1若e e为平面单位向量，则|a ae e|+|b be e|的最大值是_【考点分类】热点 1 平面向量数量积及其几何意义1. 【2016 高考江苏卷】如图，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两个三等分点，4BC CA ，1BF CF ，则BE CE 的值是 . 2.设四边形 ABCD 为平行四边形，.若点 M，N 满足，则6AB 4AD 3BMMC 2DNNC（
8、 ）AM NM （A）20 （B）15 （C）9 （D）6【方法规律】1.平面向量数量积的计算方法汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！4已知向量a a，b b的模及夹角，利用公式abab|a a|b|b|cos求解；已知向量a a，b b的坐标，利用数量积的坐标形式求解；用平面向量数量积的几何意义计算.来源:学#科#网 Z#X#X#K2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算 【解题技巧】1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2. 计算向量在向
9、量方向上的投影有两种思路：思路 1，用|计算;思路 2，利用计算.babcosa b |a |3. 在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【易错点睛】来源:Z.xx.k.Com1.向量的数量积不满足消去率和结合律.2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也可以为负，还可以为 0.3.若a ab b=0,则a=a=0 0 或b b=0 0 或a ab b, ,与实数乘积不同.例 已知平面向量a a,b b,c c，下列说法中：若ab=acab=ac,则a=ca=c； a a(bcbc
10、)= =(abab)c c;若a ab b=0,则a=a=0 0 或b b=0;0; a ab b|a|a|b b|，正确的序号为 .【错解】来源:Zxxk.Com【错因分析】没有掌握平面向量数量积的运算法则和平面向量数量积的性质，套用实数的运算法则和性质.【预防措施】熟练掌握平面向量数量积的运算法则和平面数量积的性质.热点 2 平面向量垂直、平面向量夹角1.【2016 高考新课标 2 理数】已知向量(1,)(3, 2)am a ，=，且()abb +，则m （ ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）82.【2016 高考新课标 3 理数】已知向量13( ,)22BA uu v，3 1(, )
11、22BC uu u v，则ABC（ ）(A)30 (B)45 (C)60 (D)120【方法规律】汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！51.对平面向量夹角问题(1)当，是非坐标形式时，需要先求出及|、|或它们的关系.aba bab(2)若已知向量，的坐标，直接利用公式求解.ab2. 利用向量垂直的充要条件将向量垂直问题转化为向量数量积来解决.【解题技巧】1.非零向量垂直a a,b b的充要条件：a ab ba ab b0|a ab b|a ab b|x1x2y1y20.2a ab ba ab b0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题【易错点睛】1.用向量夹角处
12、理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.2.若两个向量夹角为锐角，则0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则小于 0，反之，coscos不一定3. 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角4.a ab babab0 是对非零向量而言的，若a a0 时，a ab b0，但不能说a ab b.例 已知向量，且向量与夹角为锐角，求的范围；(1,2),( ,1)abx abx【错解】因为向量与夹角为锐角，所以=+20，解得-2.aba bxx【错因分析】从出发解出的值，忽视剔除同向的情况 0a b x, a b 【预防
13、措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏.热点 3 平面向量模1.已知点，在圆上运动，且，若点的坐标为，则ABC221xyABBCP(2,0)的最大值为（ ）PAPBPC A.6 B.7 C.8 D.92.【2016 年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“| |ab ”是“| |abab ”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件来源:学&科&网 Z&X&X&K【方法规律】来源:学*科*网对平面向量的模问题，若向量是非坐标形式，用求模长；若给出向量的坐标，则用|a22|a|aa aa汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！6|=来求解.a22 11xy【解题技巧】1.计算向量模时，要先将所计算模的向量用基底表示出来，再利用模公式转化为平面向量22|a|aa a的数量积，利用平面向量的运算法则计算.2对平面上两点间的距离、线段的长度问题，可转化其对应向量的模问题来解决.【易错点睛】在计算向量模问题时，要正确应用模公式，避免出现如下错误：a ab b|a a|b b|和|a ab b| |a a|b b|.例 已知|=1，|=2，向量与夹角为 120o,求|.abab3ab【错解】|=5.3ab222(3)9|6|abaa bb
