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1、数学建模与实验,主讲教师：徐徐 办公室：北校区7-1204-B 联系方式：600013777783324 Email: 答疑：每周二下午1：30-3：30,学时：54 使用教材：数学建模杨启帆 编，北京：高等教育出版社，2005 实验：MATLAB程序设计与应用第二版，刘卫国等，北京：高等教育出版社，2006,数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modelin
2、g）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,1.1 数学模型与数学建模,例（万有引力定律的发现 ）,十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。 第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时间的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。,如图，有椭圆方程 :,矢径所扫过的面 积A的微分为:,由开普勒第二定 律:,常数,立即得出:,即:,椭圆面积,由此得出,常数,简单推导如下：,我们还需算出行
3、星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：,进而有 加速度,以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是,因此得出,也就是说行星的加速度为,那么就导出著名的 万有引力定律：,1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。 4.模
4、型求解。 5.模型的分析与检验。,1.2 数学建模的一般步骤,1.3 数学模型的分 类,数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化能力。 在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力
5、的机会。,1.4 数学建模与能力的培养,例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？,1.5 一些简单的实例,似乎条件不够哦 。,请思考一下，本题解答中隐含了那些条件和假 ？ t人t 车载人回去30，而t车人回去5，故t人25,分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当然 ，这里的情况要简单得多。,例5 重要的艺术一书的作者、意大利医生兼数学家卡当，据说曾大量地进行过赌博。他在赌博时研究不
6、输的方法，实际是概率论的萌芽。 据说卡当曾参加过这样的一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。已知骰子的六个面上分别为16点，那么，赌注下在多少点上最有利？,某位不贪心的赌者依据下列决策赌博： （1）每次上赌场的目标是赢一块钱. （2）一旦赢钱立刻停赌 （3） 他第k次的赌注为,假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1-p,显然连输K次的概率为 因此开k次至少有一次赢的概率为 。不论“常胜的概率p0有多大，只要p0 0且q 1,只要K充分大,必有 。即只要赌徒有足够多的本钱，则可百赌百胜。,是不是花6分钱,准可以得到2粒红色的糖 或者她花去8分钱准可得到2粒白色的糖,
7、 所以她需要花8分钱是吗? -,如果出售机内有6粒红色的,4粒白色的,5粒蓝色的.琼斯夫人最多要花多少钱?,最坏的情况是她拿到了2粒红的,2粒白的和2粒兰的,第七粒肯定与前六粒中的两粒同色,所以她最多需要花7分钱.,最坏情况是她每种颜色的泡泡糖都买了 k-1 粒,那么再买一粒即可,所以她最多需要花 n(k-1)+1 分钱.,让我们假设有 m 组不同色的泡泡糖少于 k 粒,并且设其中第 i 组糖有 ai 粒,那么情况怎样?,所以她最多需要花: (n-m)(k-1)+1+ai,琼斯夫人最倒霉的事情是,她把所有少于 k 粒的同色糖都买了,并且其他种类的糖每种都买了 k-1 粒,最后再买一粒才能得到
8、k 粒同色的糖.,这种类型的题目,显然需要 4(7-1)+1=25 张.,借一匹马, 在18匹马中，大儿子分到匹、二儿子分到匹、小儿子分到匹，剩下匹又还给了借来得人.,例9 概率问题,一种简单的计算方法是把所有可能的情况列成一个表格,其结果表明两个婴儿搞错的情况共有六种.,现在假设标签搞乱了后,恰有三个是正确的,只有一个搞错了,问这个问题有多少种不同情况?,但是你如果用“鸽笼原理“思索一下,情况就一清二楚了.,这个问题许多人都茫然不解,其原因是他们作了下列错误的假设:在四个婴儿中,三个婴儿与其标签相符的情况有许多种,一般地,如果 n 件物品,其中已经有n-1件放对了 地方,那么剩下的一件也必定
9、放置在正确的位置上了.,由于要确定两个参数， 至少要用仪器检测两次， 除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。,黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离 。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为 a，则有,在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A点测得黑匣子方向后 ，到B点再测方向 ，AB 距离为a ，BAC=，ABC=，利用正弦定理得出 BC = asin/sin (+) 。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而 又较小时，+可能非常接近（ACB接近于0），而sin（+）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。,AB发出车次显然是一样多的， 否则一处的车辆将会越积越多。,下接第二章,
