《辽宁省北票市高级中学人教版高中选修1-1数学导学案：3.3.2利用导数研究函数的极值（五） word版缺答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《辽宁省北票市高级中学人教版高中选修1-1数学导学案：3.3.2利用导数研究函数的极值（五） word版缺答案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3.23.3.2 利用导数研究函数的极值（利用导数研究函数的极值（5 5） 利用导数证明不等式利用导数证明不等式 技巧精髓技巧精髓 一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中 的一个难点，也是近几年高考的热点。 二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最 值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等 式的关键。 1 1、利用题目所给函数证明、利用题目所给函数证明 【例例 1 1】 已知函数，求证：当时，xxxf) 1ln()(1x 恒有xx x ) 1ln( 1 1 1 分析：分析：本
2、题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 ，从其导数入手即可证明。1 1 1 ) 1ln()( x xxg 【警示启迪警示启迪】如果是函数在区间上的最大（小）值，则有（或( )f a( )f x( )f x( )f a ） ，那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过就可得证( )f x( )f a0 2 2、直接作差构造函数证明、直接作差构造函数证明 【例例 2 2】已知函数 求证：在区间上，函数的图象在函数.ln 2 1 )( 2 xxxf), 1 ()(xf 的图象的下方； 3 3 2 )(xxg 分析：分析：函数的图象在函数的图象的下方问题，)(xf)(xg)()(xgxf
3、 不等式 即，只需证明在区间上，恒有成立，设 32 3 2 ln 2 1 xxx), 1 ( 32 3 2 ln 2 1 xxx ，考虑到)()()(xfxgxF), 1 ( x0 6 1 ) 1 (F 要证不等式转化变为：当时，这只要证明： 在区间是1x) 1 ()(FxF)(xg), 1 ( 增函数即可。 【警示启迪警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式 设为函数） ，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明 要证的不等式。读者也可以设做一做，深刻体会其中的思想方)()()(xgxfxF 法。 3 3、换元后作差构造函数证明、换元
4、后作差构造函数证明 【例例 3 3】证明：对任意的正整数 n，不等式 都成立. 32 11 ) 1 1 ln( nnn 分析：分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当x n 1 时，恒有成立，现构造函数，0x 32 ) 1ln(xxx) 1ln()( 23 xxxxh 求导即可达到证明。 【警示启迪警示启迪】我们知道，当在上单调递增，则时，( )F x , a bxa 有如果，要证明当时，那么，只要令( )F x( )F a( )f a( )axa( )f x( )x ，就可以利用的单调增性来推导也就是说，在可导的前( )F x( )f x( )x( )F x
5、( )F x 提下，只要证明即可( )Fx 4 4、从条件特征入手构造函数证明、从条件特征入手构造函数证明 【例例 4 4】若函数y=在R上可导且满足不等式x恒成立，且常数a，b满)(xf)(x f )(xf 足ab，求证：ab)(af)(bf 【警示启迪警示启迪】由条件移项后，容易)()(xfxf x 想到是一个积的导数，从而可以构造函数 ，求导即可完成证明。若题目中的)()(xxfxF 条件改为，则移项后，)()(xfxf x)()(xfxf x 要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总 结。 【思维挑战思维挑战】 1、 设xaxxxfaln2ln1)(, 0 2 求证：当时，恒有，1x1ln2ln 2 xaxx 2、已知定义在正实数集上的函数其中a0，且 ,ln3)(,2 2 1 )( 22 bxaxgaxxxf ， 求证：aaabln3 2 5 22 )()(xgxf 3、已知函数，求证：对任意的正数、， 恒有 x x xxf 1 )1ln()(ab .1lnln a b ba 4、 （2007 年，陕西卷）是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足)(xf 0，对任意正数a、b，若a b，则必有 （ )()(xfxf x ） （A）af (b)bf (a)（B）bf (a)af (b) （C）af (a)f (b)（D）bf (b)f (a)
