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1、第第2 2讲讲 平面向量、解三角形平面向量、解三角形【课前热身课前热身】 第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第46页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC =e1，DC=e2，则OC = .【答案】1 2(e1+e2)【解析】因为O是矩形ABCD对角线的交点，BC =e1，DC=e2，所以OC =1 2(BC +DC)=1 2(e1+e2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a=(6，-3)，b=(2，x+1)，若ab，则实数x= .【答案】3【解析】因为ab，所以ab=0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改
2、编)在锐角三角形ABC中，设角A，B所对的边分别为a，b.若2asin B=3b，则角A= .【答案】 3【解析】在ABC中，由正弦定理及已知得2sin Asin B=3sin B，因为B为ABC的内角，所以sin B0，所以sin A=3 2.又因为ABC为锐角三角形，所以A02， ，所以A= 3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a=(1，0)，b=(2，1)，则当k= 时，向量ka-b与a+3b平行.【答案】-1 3【解析】由题设知向量a与b不平行，因为向量ka-b与a+3b平行，所以1k =-1 3，即k=-1 3.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在ABC中，内角A，B，C所
3、对的边分别为a，b，c，已知a=7，b=43，c=13，则ABC最小的内角为 .【答案】 6【解析】因为13437，所以CBA，又因为cos C=222- 2ab c ab=4948-132 7 4 3 =3 2，所以C= 6.【课堂导学课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016淮安5月信息卷)已知向量m=(cos ，sin )，n=(3，-1)，(0，).(1)若mn，求角的大小；(2)求|m+n|的最小值.【解答】(1)因为m=(cos ，sin )，n=(3，-1)，且mn，所以3cos -sin =0，即tan =3.又因为(0，)，所以= 3.(2)因为m+n=(cos +3，
4、sin -1)，所以|m+n|=22(cos3)(sin -1)=52 3cos -2sin=54cos6.因为(0，)，所以+ 7 666， ，故当+ 6=，即=5 6时，|m+n|取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016苏州暑假测试)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin2- 2A B+sin Asin B=22 4.(1)求角C的大小；(2)若b=4，ABC的面积为6，求c的值.【解答】(1)sin2- 2A B+sin Asin B=1-cos( - ) 2A B +2sin sin 2AB=1-cos cos -sin sin 2ABAB +2s
5、in sin 2AB=1-cos cossin sin 2ABAB=1-(cos cos -sin sin ) 2ABAB=1-cos() 2AB =1-cos(- ) 2C=1cos 2C =22 4，所以cos C=2 2.又0C，所以C= 4.(2)因为S=1 2absin C=1 2a4sin 4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2abcos C=(32)2+42-23242 2=10，所以c=10.变式1 (2016南通一调)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2acos B，b=2
6、，求ABC的面积.【解答】(1)在ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222- 2ab c ab=-1 2，即cos C=-1 2.因为0C，所以C=2 3.(2)方法一：方法一：因为c=2acos B，由正弦定理，得sin C=2sin Acos B.因为A+B+C=，所以sin C=sin(A+B)，所以sin(A+B)=2sin Acos B，即sin Acos B-cos Asin B=0，所以sin(A-B)=0.又- 3A-B 3，所以A-B=0，即A=B，所以a=b=2.所以ABC的面积为SABC=1 2absin C=1 222sin 2 3=3.方法二：方法二：
7、由c=2acos B及余弦定理，得c=2a222- 2ac b ac，化简得a=b，所以ABC的面积为SABC=1 2absin C=1 222sin 2 3=3.变式2 (2016南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC中，tan A+tan B+tan Atan B=1.(1)求角C的大小；(2)若A=15，AB=2，求ABC的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan Atan B=1，即tan A+tan B=1-tan Atan B.因为在斜三角形ABC中，1-tan Atan B0，所以tan(A+B)=tantan 1-tan tanAB AB =1，即ta
8、n(180-C)=1，tan C=-1.因为0C180，所以C=135.(2)在ABC中，A=15，C=135，则B=180-A-C=30.由正弦定理sinBC A=sinCA B=sinAB C，得sin15BC=sin30CA =2 sin135=2，故BC=2sin 15=2sin(45-30)=2(sin 45cos 30-cos 45sin 30)=6- 2 2，CA=2sin 30=1.所以ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6- 2 2=262 2.平面向量与解三角形综合例3 (2016无锡期末)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-s
9、in C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且ab.(1)求角B的大小；(2)若b=ccos A，ABC的外接圆的半径为1，求ABC的面积.【解答】(1)因为ab，所以ab=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin Asin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222- 2ac b ac=1 2.因为B(0，)，所以B= 3.(2)因为ccos A=b，所以b c=222- 2bc a bc，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2Rsin B=3，解
10、得a=1，c=2.所以SABC=1 2acsin B=3 2.变式 (2016苏锡常镇二调)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且mn.(1)求cos C的值；(2)若c=3，ABC的面积S=154，求a，b的值.【解答】(1)因为mn，所以ccos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin Ccos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin Acos C.因为A+B+C=，所以sin(B+C)=sin A.又因为A(0，)，所以sin A0，所以cos C=1 4.(2)因
11、为C(0，)，cos C=1 4，所以sin C=21-cos C=11-16 =154.因为S=1 2absin C=154，所以ab=2. 因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-1 2ab，所以a2+b2=4， 由，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价课堂评价】1.(2016镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|= .【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2=13.2.(2016南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a(2a+b)，则实数m= .【答案
12、】2【解析】方法一：方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a(2a+b)，所以18-(2+m)2=0，故m=2.方法二：方法二：因为a(2a+b)，所以存在实数，使得a=2a+b，即(-2)a=b，所以(-2，2-4)=(m，4)，所以-2=m且2-4=4，解得=4，m=2.3.(2016南京、盐城一模)在ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A= 4，cos B=3 5，则c= .【答案】7【解析】因为cos B=3 5，所以B02， ，从而sin B=4 5，所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=2 23
13、 5+2 24 5=7 2 10，又由正弦定理得sina A=sinc C，即52 2=7 2 10c，解得c=7.4.(2016全国卷)在ABC中，B= 4，BC边上的高等于1 3BC，则cos A= .(第4题)【答案】-10 10【解析】如图，作ADBC交BC于点D，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-225cos A，解得cos A=-10 10.5.(2016南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC中，BD =1 2BC ，AE =1 3AC，AD与BE交于点P，则PB PD 的值为 .(第5题)【答案】27 4【解析】如图，以BC
14、为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，不妨设B(-3，0)，C(3，0)，则D(0，0)，A(0，33)，E(1，23)，P3 302 ，所以PB PD =|PD |2=23 3 2 =27 4.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估第34页.【检测与评估检测与评估】 第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016苏州暑假测试)设x，yR R，向量a=(x，1)，b=(2，y)，且a+2b=(5，-3)，则x+y= .2.(2016盐城三模)已知向量a，b满足a=(4，-3)，|b|=1，|a-b|=21，则向量a，b的夹角为 .3.(2016全国卷)设ABC
15、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=4 5，cos C=5 13，a=1，则b= .4.(2016天津卷)在ABC中，若AB=13，BC=3，C=120，则AC= .5.(2016南京三模)如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB=4，AD=3，CD=2，AM =2MD .若AC BM =-3，则AB AD = .(第5题)6.(2016无锡期末)已知平面向量，满足|=1，且与-的夹角为120，则的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b a+a b=6cosC，则tan tanC A+tan tanC B= .8.(2016苏北四市摸底)在ABC中，AB=2，AC=3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若AO =xAB +y
