《甘肃省金昌市第一中学高中数学学案：1.3.2 辗转相除法与更相减损术 必修三》由会员分享，可在线阅读，更多相关《甘肃省金昌市第一中学高中数学学案：1.3.2 辗转相除法与更相减损术 必修三（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些 原理进行算法分析。 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写 出算法程序。（b b）过程与方法）过程与方法在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常 见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习 中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把 数学算法转化成计算机语言的一般步骤。（c c）情态与价值观）情态与价值观1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界 数学发展的贡献。 2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑 思维能力，
2、在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实 践的能力。二、教学重难点二、教学重难点重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。 难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语 言。三、教学设计三、教学设计（一）创设情景，揭示课题 1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识， 你能求出 18 与 30 的公约数吗？ 2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大 公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公 约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求 8251 与 6105 的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨
3、的内容。 （二）研探新知 1.辗转相除法 例 1 求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数。 解：8251610512146教学札记：显然 8251 的最大公约数也必是 2146 的约数，同样 6105 与 2146 的 公约数也必是 8251 的约数，所以 8251 与 6105 的最大公约数也是 6105 与 2146 的最大公约数。 6105214621813 214618131333 18133335148 333148237 1483740 则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法， 它是由欧几里德在公元
4、前 300 年左右首先提出的。利用辗转相除法求最 大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q0和一个余数 r0； 第二步：若 r00，则 n 为 m，n 的最大公约数；若 r00，则用除数 n 除以余数 r0得到一个商 q1和一个余数 r1； 第三步：若 r10，则 r1为 m，n 的最大公约数；若 r10，则用除 数 r0除以余数 r1得到一个商 q2和一个余数 r2； 依次计算直至 rn0，此时所得到的 rn1即为所求的最大公约数。 （1）辗转相除法的程序框图及程序 程序框图：（略） 程序：（当循环结构） 直到型结构 见书 37 面。INPUT “m=”
5、;m INPUT “n=”;n IF m0 r=m MOD nm=n n=r WEND PRINT m END 练习：利用辗转相除法求两数 4081 与 20723 的最大公约数（答案： 53） 2.更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副 置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译出来为： 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2约简；若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比 较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等
6、为止，则这个 数（等数）就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 解：由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数，并辗转相减，即： 986335 633528 35287 28721 21714 1477 所以，98 与 63 的最大公约数是 7。 练习：用更相减损术求两个正数练习：用更相减损术求两个正数 8484 与与 7272 的最大公约数。的最大公约数。 （答案：（答案： 1212） 3.比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更 相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别 当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到 5.课堂练习 一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的 BASIC 程序中验证。
