通信原理教程cthan

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1、1,第十章 信道编码和差错控制,10.1概述 信道编码： 目的：提高信号传输的可靠性。 方法：增加多余比特，以发现或纠正错误。 差错控制：包括信道编码在内的一切纠正错误手段。 产生错码的原因： 乘性干扰引起的码间串扰 加性干扰引起的信噪比降低 信道分类：按照加性干扰造成错码的统计特性不同划分 随机信道：错码随机出现，例如由白噪声引起的错码 突发信道：错码相对集中出现，例如由脉冲干扰引起的错码。 混合信道,2,差错控制技术的种类： 检错重发： 能发现错码，但是不能确定错码的位置。 通信系统需要有双向信道。 前向纠错(FEC)：利用加入的差错控制码元，不但能够发现错码，还能纠正错码。反馈校验： 将

2、收到的码元转发回发送端，将它和原发送码元比较。 缺点：需要双向信道，传输效率也较低。 检错删除： 在接收端发现错码后，立即将其删除。 适用在发送码元中有大量多余度，删除部分接收码元不影响应用之处。,3,编码序列的参数 n 编码序列中总码元数量 k 编码序列中信息码元数量 r 编码序列中差错控制码元数量（差错控制码元，以后称为监督码元或监督位 ） k/n 码率 (n - k) / k = r / k 冗余度,4,自动要求重发(ARQ)系统 停止等待ARQ系统 拉后ARQ系统,5,选择重发ARQ系统 ARQ和前向纠错比较： 优点 监督码元较少，即码率较高 检错的计算复杂度较低 能适应不同特性的信道

3、 缺点 需要双向信道。 不适用于一点到多点的通信系统或广播系统。 传输效率降低，可能因反复重发而造成事实上的通信中断。,6,10.2 纠错编码的基本原理 分组码举例 设：有一种由3个二进制码元构成的编码，它共有23 = 8种 不同的可能码组：000 晴 001 云 010 阴 011 雨100 雪 101 霜 110 雾 111 雹这时，若一个码组中发生错码，则将收到错误信息。 若在此8种码组中仅允许使用4种来传送天气，例如：令000 晴 011 云 101 阴 110 雨为许用码组，其他4种不允许使用，称为禁用码组。 这时，接收端有可能发现（检测到）码组中的一个错码。 这种编码只能检测错码，

4、不能纠正错码。 若规定只许用两个码组：例如000 晴 111 雨就能检测两个以下错码，或纠正一个错码。,7,分组码概念 分组码 信息位 监督位 分组码符号：(n, k) 其中，n 码组总长度，k 信息码元数目。r = n k 监督码元数目。右表中的码组为(3, 2)码。 分组码的一般结构：分组码的参数： 码重：码组内“1”的个数 码距：两码组中对应位取值不同的位数，又称汉明距离 最小码距(d0) ：各码组间的最小距离,8,码距的几何意义：以n = 3的编码为例 一般而言，码距是 n 维空间中单位正多面体顶点之间的汉明距离。,9,一种编码的纠检错能力：决定于最小码距d0的值。 为了能检测e个错码

5、，要求最小码距为了能纠正 t 个错码，要求最小码距,10,为了能纠正t个错码，同时检测e个错码，要求最小码距纠检结合工作方式： 当错码数量少时，系统按前向纠错方式工作，以节省重发时间，提高传输效率； 当错码数量多时，系统按反馈重发的纠错方式工作，以降低系统的总误码率。,11,10.3 纠错编码系统的性能 10.3.1 误码率性能和带宽的关系采用编码降低误码率所付出的代价是带宽的增大。,12,10.3.2 功率和带宽的关系采用编码以节省功率，并保持 误码率不变，付出的代价也是 带宽增大。,13,10.3.3 传输速率和带宽的关系对于给定的传输系统，其传输速率和Eb/n0的关系：式中，RB 码元速

6、率。 提高传输速率，采用编码以保持误码率不变；付出的代价仍是带宽增大。,14,10.3.4 编码增益定义：在保持误码率恒定条件下，采用纠错编码所节省的信 噪比Eb/n0称为编码增益：式中，(Eb/n0)u 未编码时的信噪比(dB)；(Eb/n0)c 编码后所需的信噪比(dB)。,15,10.4 奇偶监督码10.4.1 一维奇偶监督码 奇偶监督码 分为奇数监督码和偶数监督码两类。 在奇偶监督码中，监督位只有1位，故码率等于k/(k+1)。 偶数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为偶数：式中，a0为监督位，其他位为信息位。 奇数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为奇数：,16,检错能力 能

7、够检测奇数个错码。 设：码组长度为n，码组中各个错码的发生是独立的和等概率的，则在一个码组中出现 j 个错码的概率为式中， 为在n个码元中有j个错码的组合数。 奇偶监督码不能检测码组中出现的偶数个错码，所以在一个码组中有错码而不能检测的概率等于: 当n为偶数时 当n为奇数时,17,例 右表中的编码是偶数监督码。设信道的误码率为10-4，错码的出现是独立的。试计算其不能检测的误码率。将给定条件代入式计算得出由计算结果可见，此编码可以将误码率从10-4降低到10-8量级。效果非常明显。,18,10.4.2 二维奇偶监督码 码率等于有可能检测偶数个错码 适合检测突发错码 能够纠正部分错码,19,10

8、.5 线性分组码 基本概念 代数码 利用代数关系式产生监督位的编码 线性分组码 代数码的一种，其监督位和信息位的关系由线性代数方程决定 汉明码 一种能够纠正一个错码的线性分组码 校正子：在偶数监督码中，计算实际上就是计算并检验S是否等于0。S称为校正子。 监督关系式：,20,纠错基本原理中，S只有两种取值，故只能表示有错和无错，而不能进一步指明错码的位置。 若此码组长度增加一位，则能增加一个监督关系式。这样，就能得到两个校正子。两个校正子的可能取值有4种组合，即00，01，10，11，故能表示4种不同的信息。若用其中一种组合表示无错码，则还有其他3种组合可以用于指明一个错码的3种不同位置。 从

9、而可以有纠错能力。 一般而言，若有 r 个监督关系式，则 r 个校正子可以指明一个错码的 (2r 1) 个不同位置。 当校正子可以指明的错码位置数目等于或大于码组长度n时，才能够纠正码组中任何一个位置上的错码，即要求,21,汉明码 例：要求设计一个能够纠正1个错码的分组码(n, k)，给定的码组中有4个信息位，即k = 4。 由这时要求监督位数r 3。若取r = 3，则n = k + r = 7。现在用a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0表示这7个码元，用S1 S2 S3表示校正子，则这3个校正子恰好能够指明23 1 = 7个错码的位置。 若规定校正子和错码位置的关系如下表，则仅当在a6

10、a5 a4 a2位置上有错码时，校正子S1的值才等于1；否则S1的值为零。这就意味着a6 a5 a4 a2四个码元构成偶数监督关系：同理，有,22,在编码时，信息位a6 a5 a4 a3的值决定于输入信号，它们是随机的。监督位a2 a1 a0是按监督关系确定的，应该保证上列3式中的校正子等于0，即有给定信息位后，为了计算监督位，上式可以改写为按照上式计算结果为,23,在接收端解码时，对于每个接收码组，先按式计算出校正子S1，S2和S3，然后按照表判断错码的位置。 例：若接收码组为0000011，则按上三式计算得到：S1 = 0，S2 = 1，S3 = 1。这样，由上表可知，错码位置在a3。,2

11、4,上例中的汉明码是(7, 4)码，其最小码距d0 = 3。 由式可知，此码能够检测2个错码，或纠正1个错码。 汉明码的码率：当r (或n)很大时，上式趋近于1。所以汉明码是一种高效编码。,25,分组码的一般原理 线性分组码的监督位和信息位的关系 可以改写为上式中，已经将“”简写成“+”。,26,监督矩阵上式可以写成矩阵形式：（模2） 将上式简写为HAT = 0T 或 AHT = 0,27,HAT = 0T 式中， 称为监督矩阵 监督矩阵的性质 监督矩阵H确定码组中的信息位和监督位的关系。 H 的行数就是监督关系式的数目，即监督位数 r 。 H 的每行中“1”的位置表示相应的码元参与监督关系。

12、H 可以分成两部分，例如典型监督矩阵 式中，P 为r k阶矩阵，Ir为 r r 阶单位方阵。,28,H 矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到 r 个线性无关的监督关系式。 若一个矩阵能写成典型阵形式P Ir，则其各行一定是线性无关的。 生成矩阵 例：可以写为上式两端分别转置后，可以变成式中，Q为k r 阶矩阵，是P的转置，即 Q = PT,29,将Q的左边加上一个k阶单位方阵，称为生成矩阵： 生成矩阵 G称为生成矩阵，因为可以用它产生整个码组A，即有生成矩阵的性质 具有IkQ形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。 由典型生成矩阵得出的码组A中，信息位的位置不变，监督位附加于其后。这种形式的码组称

13、为系统码。 矩阵G的各行也必须是线性无关的。 如果已有k个线性无关的码组，则可以将其用来作为生成矩阵G，并由它生成其余码组。,30,错误图样设：发送码组A是一个n列的行矩阵：接收码组是一个n列的行矩阵B： 令接收码组和发送码组之差为E就是错码的行矩阵 称为错误图样 式中，(i = 0, 1, , n-1)若ei = 0，表示该码元未错；若ei = 1，表示该码元为错码。,31,校正子矩阵B A = E 可以改写成 B = A + E 上式表示发送码组A与错码矩阵E之和等于接收码组B。 例如， 若发送码组A = 1 0 0 0 1 1 1，错码矩阵E = 0 0 0 0 1 0 0，则 接收码组

14、B = 1 0 0 0 0 1 1。 在接收端解码时，将接收码组B代入式AHT = 0中A的位置进行计算。若接收码组中无错码，则B = A。代入后，该式仍成立，即有BH T = 0只有当错码未超出检测能力时，上式才不成立。 假设，这时该式的右端等于S，即有BH T = S将B = A + E 代入上式，得到:S = (A + E) H T = AH T + EH T,32,S = (A + E) H T = AH T + EH T 上式右端第一项等于0，所以S = EH T 校正子矩阵 当H 确定后，上式中S只与E 有关，而与A 无关。 这意味着，S 和错码E 之间有确定的线性变换关系。若S

15、和E 有一一对应关系，则S 将能代表错码位置。 线性码的封闭性：若A1和A2是一种线性码中的两个码组，则(A1+A2)仍是其中一个码组。 证若A1和A2是两个码组，则有：A1HT = 0, A2HT = 0将上两式相加，得出A1HT + A2HT = (A1 + A2 ) HT = 0所以(A1 + A2)也是一个码组。由于线性码具有封闭性，所以两个码组(A1和A2)之间的距离（即对应位不同的数目）必定是另一个码组(A1 + A2)的重量（即“1”的数目）。因此，码的最小距离就是码的最小重量（除全“0”码组外）。,33,10.6 循环码10.6.1 循环码的概念：循环性是指任一码组循环一位后仍然是该编码中的一个码组。 例：一种(7, 3)循环码的全部码组如下表中第2码组向右移一位即得到第5码组；第5码组向右移一位即得到第7码组。,34,一般情况若(an-1 an-2 a0)是循环码的一个码组，则循环移位后的码组： (an-2 an-3 a0 an-1)(an-3 an-4 an-1 an-2) (a0 an-1 a2 a1)仍然是该编码中的码组。 多项式表示法一个长度为n的码组(an-1 an-2 a0)可以表示成上式中x 的值没有任何意义，仅用它的幂代表码元的位置。例：码组1 1 0 0 1 0 1可以表示为,