《湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学（人教版）教案 必修四3.2 简单的三角恒等变换（二）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学（人教版）教案 必修四3.2 简单的三角恒等变换（二）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 2 课时课时 （一）导入新课（一）导入新课思路思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角 与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：=(+)-，2=(+)+(-)=(+)-(-)，+=-(-)等，你4 4 4 2 4能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开.思路思路 2.(复习导入)前面已经学过如何把形如 y=asinx+bcosx 的函数转化为形如 y=Asin(x+)的函数，本节主要研究函数 y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代 数、几何知识联系密切，它是研究其他
2、各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题， 大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧， 要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.（二）推进新课、新知探究、提出问题（二）推进新课、新知探究、提出问题 三角函数 y=sinx，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ 函数 y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ 三角变换在几何问题中有什么应用？活动：活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知 道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函 数的
3、周期都是 2k（kZ 且 k0） ，最小正周期都是 2.三角函数的定义与变化时，会对其周 期性产生一定的影响，例如，函数 y=sinx 的周期是 2k（kZ 且 k0） ，且最小正周期是 2，函数 y=sin2x 的周期是 k（kZ 且 k0） ，且最小正周期是 .正弦函数，余弦函数的最大 值是 1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是.函数 y=asinx+bcosx=（cosx）,22ba 2222sin babx baa (,sin,cos1)()( 2222222222 babbaababbaa从而可令则有 asinx+bcosx=（sinxcos+cosxsin）22ba =sin
4、（x+）.22ba 因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=sin（x+） ，其中 tan=.在以后的学22ba ab习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系. 几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来 解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法. 讨论结果：讨论结果：y=sinx，y=cosx 的周期是 2k（kZ 且 k0） ，最小正周期都是 2；最大值 都是 1，最小值都是-1. (略)见活动.（三）应用示例（三）应用示例思路思路 1例 1 如图 1,已知
5、 OPQ 是半径为 1,圆心角为的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内3接矩形.记COP=,求当角 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.活动：活动：要求当角 取何值时，矩形 ABCD 的面积 S 最大，先找出 S 与 之间的函数关系， 再求函数的最值. 找 S 与 之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S=ABBC=(cossin)sin=sincos-sin2.3333求这种 y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成 Asin(x+) 型的三角函数求最值. 教师引导学生思考：要求当角 取何值时,矩形 ABCD
6、 的面积 S 最大,可分两步进行:图 1 (1)找出 S 与 之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求 S 的最大值. 解解:在 RtOBC 中,BC=cos,BC=sin,在 RtOAD 中,=tan60=,OADA3所以 OA=DA=BC=sin.33 33 33所以 AB=OB-OA=cossin.33设矩形 ABCD 的面积为 S,则S=ABBC=(cossin)sin=sincossin23333=sin2+cos2-=(sin2+cos2)-21 63 6331 23 21 63=sin(2+)-.31 6 63由于 00).6 6 2x(1)求函数 f(x)的值域;(2)若函
7、数 y=f(x)的图象与直线 y=-1 的两个相邻交点间的距离为,求函数 y=f(x)的单调2增区间.解解:(1)f(x)=sinx+cosx+sinx-cosx-(cosx+1)23 21 23 21=2(sinx-cosx)-1=2sin(x-)-1.23 21 6由-1sin(x-)1,得-32sin(x-)-11,6 6可知函数 f(x)的值域为-3,1.(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知 y=f(x)的周期为 ,又由 0,得=,即得 =2.2于是有 f(x)=2sin(2x-)-1,再由 2k-2x-2k+(kZ),解得6 2 6 2k-xk+(kZ).6 3所以 y=f(x
8、)的单调增区间为k-,k+(kZ).6 3点评点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函 数有关知识的能力. 例 1 求函数 y=sin4x+23sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在上的单调递增 区间.活动：活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和 周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题.解解:y=sin4x+2sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+sin2x33=sin2x-cos2x=2sin(2x-).
9、36故该函数的最小正周期是 ;最小值是-2;在上单调增区间是,.65点评：点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识. 变式训练变式训练 已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x, (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 x,求 f(x)的最大、最小值.解：解：f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x+),24所以，f(x)的最小正周期 T=.22(2)因为 x，所以 2x+，.4 4 45当 2x+=时，cos(2x+)取得最大
10、值,4 4 4 22当 2x+= 时，cos(2x+)取得最小值-1.4 4所以，在上的最大值为 1，最小值为-.2思路思路 2例 1 已知函数 f(x)=sin(x+)(0,0)是 R 上的偶函数,其图象关于点 M(,0)对称,且在43区间上是单调函数,求 和 的值.活动：活动：提醒学生在解此题时,对 f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于 M(,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在 R 上的函43数 y=f(x)对定义域内任意 x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则 y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦 然.
11、教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练. 解：解：由 f(x)是偶函数,得 f(-x)=f(x), 即 sin(-x+)=sin(x+),所以-cossinx=cossinx 对任意 x 都成立. 又 0,所以,得 cos=0.依题设 0,所以,解得 =.2由 f(x)的图象关于点 M 对称,得 f(-x)=-f(+x).43 43取 x=0,得 f()=-f(),所以 f()=0.43 43 43f()=sin(+)=cos,cos=0.43 43 2 43 43又 0,得=+k,k=0,1,2,.43 2=(2k+1),k=0,1,2,.32当 k=0 时,
12、=,f(x)=sin(x+)在上是减函数;32 32 2当 k=1 时,=2,f(x)=sin(2x+)在上是减函数;2当 k2 时,f(x)=sin(x+)在上不是单调函数.310 2所以,综合得 =或 =2.32点评：点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然 后进而解决此题. 变式训练变式训练已知如图 2 的 RtABC 中,A=90,a 为斜边,B、C 的内角平分线 BD、CE 的长分别为m、n,且 a2=2mn.问:是否能在区间(,2中找到角 ,恰使等式 cos-sin=4(cos-cos2CB )成立?若能,找出这样的角 ;若不能,请说明理由.2C
13、B 解解:在 RtBAD 中,=cos,在 RtBAC 中, =sinC,mAB 2B aABmcos=asinC.2B图 2同理,ncos=asinB.2Cmncoscos=a2sinBsinC.2B 2C而 a2=2mn,coscos=2sinBsinC=8sincoscossin.sinsin=.2B 2C 2B 2B 2C 2C 2B 2C 81积化和差,得 4(cos-cos)=-1,2CB 2CB 若存在 使等式 cos-sin=4(cos-cos)成立,则cos(+)=-1,2CB 2CB 24cos(+)=.而 2,4 22+.这样的 不存在.45 4 29点评点评:对于不确定
14、的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假 设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这 个探索结论的过程可概括为假设推证定论.例 2 已知 tan(-)=，tan=，且 ,(0,)，求 2- 的值.21 71解：解：2-=2(-)+,tan(-)=，21tan2(-)=.)(tan1)tan(22 34从而 tan(2-)=tan2(-)+=.71 34171 34tan)(2tan1tan)(2tan 121252125又tan=tan(-)+=1. tan)tan(1tan)tan( 31且 0，0.02.4 2又 tan=0，且 (0,)，71，-.2 2-2-0.2-=.43点评：点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论， 注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另 外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若(0,)，则求 cos;若 (,)，则求 sin 等.22变式训练变式训练若 , 为锐角，且 3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求证：+2=.2证明：证明：已知两个等式可化为 3sin2=cos2， 3sincos=sin2，
