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,一、三重积分的定义,1.引例：非均匀分布立体的质量,(1)均匀分布的物体的质量等于体密度体积,(2)非均匀分布的物体，已知体密度(x,y,z)为V上非负有界函数，随点P(x,y,z)在V上位置不同而变化，欲求其质量。,常数,即,直角坐标系中将三重积分化为三次积分,二、三重积分的计算,如图，,1.先一后二法:,注意,称此方法为三重积分计算的“先一后二”法.,解,故,解,如图，,解,例3,2.先二后一法(也称为截面法):,解,原式,解,如图,补充：利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,解,三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分） 方法1:先一后二法, 方法2:先二后一法(截面法) (当被积函数为单变量函数时,一般用此法),三、小结,注意：利用对称性简化运算,思考题,选择题:,练 习 题,练习题答案,
