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1、16.4 角的平分线 一、教学目标 1.使学生掌握角平分线定理及其逆定理，培养学生探索知识的能力。 2.使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等。 3.渗透点的集合的数学思想。从事物特殊性入手，总结归纳事物的一般性。体现在研究问题时注意纯粹性与完备性，准确、全面地思考问题。 二、教学重点和难点 1.重点：（1）角平分线的性质和判定。（2）点到角的边的距离要强调垂直关系。 2.难点：（1）分清文字命题中的题设（已知）和结论，掌握证明题格式。（2）把角平分线看作点的集合。 三、教学方法 引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法。 四、教学手段 利用投影仪、教具（等腰三角形纸片）使
2、教学反馈速度快、直观。,五、教学过程 （一）复习提问 1.角平分线的概念，角平分线与三角形的角平分线的区别和联系。 2.点到直线（或射线）距离的意义。 （二）引入新课 第一册已经介绍过角的平分线的概念，那么它有什么重要性质呢？怎样找到这个角的平分线？同学们首先看（教具）。 （1）有一张剪好的纸片，怎样找这个角的平分线？（引导学生回答）。（2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线，如图348。如果我们把对折的纸片继续折一次，然后把纸片展开，就会出现两条折痕，如图349中的PM和PN，不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对
3、。由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其它的性质，这节我们就来研究这个问题。,（三）讲解新课 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 要向学生讲明，证明这个定理，首先要分清题设和结论，既为写已知、求证做准备，又为引入逆命题及讨论原、逆命题的关系打基础，然后把条件和结论具体化，符号化，写出已知、求证和证明。 题设：一个点在一个角的平分线上。 结论：它到角的两边的距离相等。 已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，（如图350）,求证：PDPE。 证明：PDOA，PEOB（已知）， PDOPEO90（垂直的定义）。 在PDO和PEO中，
4、 PDOPEO（已知）， AOCBOC（已知）， OPOP（公共边）， PDOPEO（AAS）。 PDPE（全等三角形的对应边相等）。 定理应用所具备的条件和定理的作用：条件有三个，角的平分线，点在该平分线上，垂直距离。作用是证明线段相等。 如图351，填写使BCBD成立所需的条件： ， BCBD。,猜想图351中，由BCAC于点C，BDAD于点D，BCBD，可以得到什么结论？ 用文字语言概括上述猜想，并说明这个命题与定理1有什么联系与区别？ 定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 引导学生分析条件、结论，画出图形，写出已知、求证和证明。 已知：PDOA，PEOB，垂足分别
5、是D、E，PDPE，如图352。 求证：点P在AOB的平分线上。 证明：经过点P作射线OC。 PDOA，PEOB（已知）， PDOPEO90（垂直定义）。 在RtPDO和RtPEO中， OPOP（公共边）， PDPE（已知）， RtPDORtPEO（HL）。 AOCBOC（全等三角形的对应角相等）。 OC是AOB 的平分线。,想一想： 在一个角的内部，除角平分线上的点以外，还能找到“到角的两边距离相等”的点吗？为什么？ 在角平分线上，是否有“到角的两边距离不相等的点”呢？为什么？ 由定理1、2可知，在一个角内，到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反过来，角的平分线上的点到角的两边距离
6、相等。于是得到下面的结论： 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 此结论为以后研究轨迹打下基础。 例：已知：如图353，四边形ABCD中，ABBC，ADDC，B、D为垂足，线段AC平分C，求证：BCDC。 分析：要证BCDC，须证点C在A平分线上， 须证12，即证903904，这由已知条件线段AC平分C便可得证（利用投影仪）。,小结： （1）定理1是角平分线的性质定理，只要证出一射线是某角的平分线，就可知道它上面的点到角的两边距离相等，利用它可以证明线段相等；定理2是角平分线的判定定理，只要证出一个点到角的两边距离相等，就可以判定该点与顶点联线是这个角的平分线，利用它可以证明角相等。 （2）用这两个定理，一定具备两个垂直距离（即点到直线的距离）。证明过程中要直接应用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这样作实际是重新证了一次定理）。 （四）作业,
