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1、第六章 简单的超静定问题,6-1 超静定问题及其解法 6-2 拉压超静定问题 6-3 扭转超静定问题 6-4 简单超静定梁,超静定问题与超静定结构：未知力个数多于独立的平衡方程数。,超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差。,6-1 超静定问题及其解法,变形几何相容方程：有多余约束的存在，杆件（或结构）的变形受到多于静定结构的附加限制。根据变形的几何相容条件，建立附加的方程。,平衡方程为,静定问题与静定结构： 未知力（内力或外力）个数 = 独立的平衡方程数。,例：,平衡方程为,未知力个数：3,平衡方程数：2,未知力个数平衡方程数,例 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几次超
2、静定？,(a)静定。未知内力数：3平衡方程数：3,(b)静不定。未知力数：5平衡方程数：3静不定次数=2,(c)静不定。未知内力数：3平衡方程数：2静不定次数=1, l1,变形协调方程：各杆变形的几何关系,物理关系,6-2 拉压超静定问题,将物理关系代入变形协调条件得到补充方程为：,由平衡方程、补充方程接出结果为：,(拉力),(拉力),例 图示结构中，BC杆为刚性杆,1、2杆的抗拉压 刚度均为EA,试求在铅垂载荷P作用下1、2杆轴力？,装配应力在超静定结构中，由于制造、装配不准确，在结构装配好后不受外力作用即已存在的应力。,温度应力在超静定结构中，由于温度变化引起的变形受到约束的限制，因此在杆
3、内将产生内力和应力，称为温度应力和热应力。,温度内力引起的弹性变形,由温度变化引起的变形,例 阶梯钢杆的上下两端在T1=5时被固 定,上下两段的面积为 1=cm2 ， 2=cm2， 当温度升至T2=25时,求各杆的温度应力。 弹性模量E=200GPa，线膨胀系数 =12.510-61/oC。,解：（1）平衡方程,（2）变形方程,（3）本构方程,由变形和本构方程消除位移未知量,（4）联立求解得,（5）温度应力,例：设温度变化为t，1、2杆的膨胀系数为1， 3杆的膨胀系数为3，由温差引起的变形为l= t l,求各杆温度应力。,列出求解图示结构所必需的变形协调条件。,超静定问题的解法：,（1）建立静
4、力平衡方程；,（2）由变形协调条件建立变形协调方程；,（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系： ， 代入变形协调方程，得到补充方程；,（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反力偶或扭矩。,6-3 扭转超静定问题,例 一两端固定的圆截面杆AB受力偶矩作用如图。求：1）作扭矩图；2）若M=10KN.m,材料的=60MPa，试选择此等直圆截面杆直径。,例一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩M以后，杆和管内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管的材料不相同，结果又怎样？,解：,（1）静力学关系,（2）变形协调条
5、件,（3）物理关系：,代入变形协调方程，得补充方程,（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得,（5）最大切应力,杆1：,管2：,6-4 简单超静定梁,1.基本概念：,超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。,多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。,超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。,2.求解方法：,解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。,7-6,目录,采用超静定结构,例 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数,2）解除多余约束，建立相当系统,3）进行变形比较，列出变形协调条件,解：,所以,4）由整体平衡条件求其他约束反力,例 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,其中,解：,代入得补充方程：,确定A 端约束力,确定B 端约束力,A、B 端约束力已求出,最后作梁的剪力图和弯矩图,考虑：支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响 1 支座沉陷的影响 2 梁上、下表面温度变化不同的影响 这可作为自学内容。,
