《江西省宜春市高中数学（理）学案： 简单复合函数的求导法则16 选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江西省宜春市高中数学（理）学案： 简单复合函数的求导法则16 选修2-2（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 学习目标：学习目标：（1）了解形成复合函数的变量之间的关系，会将一个复合函数分解成两个（或多个）简单函数。（2）了解复合函数的求导法则，会求简单复合函数的导数。学习重点：学习重点：简单复合函数的求导法则。学习难点：学习难点：将一个复合函数分解成两个（或多个）简单函数。学习过程：学习过程：1、预习预习导导航，要点指津航，要点指津（约 3 分钟）海上一艘油轮发生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：。2)(rrfS油膜的半径r随着时间t（单位：s）的增加而扩大，
2、假设r关于t的函数为。12)(ttr油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？分析：由题意可得S关于t的新的函数：。2) 12()(ttfS油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数的导函数。)(tfS ， ) 144() 12()(22ttttf 。) 12(4)48()(tttf又 ， ，rrf2)(2)( t可以观察到 ，22) 12(4rt即 。)()()(trftf一般地，对于两个函数和，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定)(ufy baxxu)(了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数和的复合函数，记作)(ufy )(xu。其中u为中间变量。)(xfy复合函数
3、复合函数的导数为：的导数为：)(xfy(表示y对x的导数)()()(xufxfyxxy复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。二、自主探索，独立二、自主探索，独立思思考考（约 10 分钟）例例 1 1、试说明下列函数是怎样复合而成的？高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 ； ； 32)2(xy2sin xy )4cos(xy) 13sin(lnxy解：函数由函数和复合而成；32)2(xy3uy 22xu函数由函数和复合而成；2sin xy uysin2xu 函数由函数和复合而成；)4c
4、os(xyuycosxu4函数由函数、和复合而成) 13sin(lnxyuylnvusin13 xv说明：讨论复合函数的构成时， “内层” 、 “外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等例例 2 2、求函数的导数。13 xy解：解：引入中间变量，则函数是由函数与 13)(xxu13 xy21 )(uuuf)(xu复合而成的。13 x根据复合函数求导法则可得：1323321)()(13xuxufx例例 3 3、求函数的导数。3) 12(xy解：解：引入中间变量，则函数是由函数与 复合12)(xxu3) 12(xy3)(uuf)(xu12 x而成的。根据
5、复合函数求导法则可得：223) 12(623)()(12xuxufx注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.复合函数求导的基本步骤是：分解分解求导求导相乘相乘回代回代 例例 4 4、求 y=的导数. 21xx解：y=() 21xx2222)1()1(1xxxxx1 2222211(1)(1)2 1xxxxx 22211( 2 ) 2 1 1xxx x x 2 2221 1 1xx x
6、x 2232222111(1)(1)xxxxx 3 22(1)x高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 例例 5 5 （2006 年全国卷 I）设函数.若是奇函数，求. cos30f xx /f xfx解: sin333sin3fxxxx 要使 h x为奇函数，需且仅需32kkZ ，即：6kkZ .又0，所以 k 只能取 0，从而6.三、小组合作探究，三、小组合作探究，议议疑解惑疑解惑（约 5 分钟）各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。四、四、展展示你的收获示你的收获（约 8 分钟）由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头
7、叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方法、知识技巧。 （即学习成果）五、重、难、疑点五、重、难、疑点评评析析（约 5 分钟）由教师归纳总结点评六、达标六、达标检检测（测（约 8 分钟）1. 求下列函数的导数： （1）；2(23)yx（2）；0.051xye（3）（其中均为常数） sin()yx, 解：（1）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有 2(23)yx2yu23ux=。xuxyyu2() (23)4812uxux（2）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有 0.051xyeuye0.051ux =。xuxyyu0.051() ( 0.051)0.00
8、50.005uuxexee （3）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则sin()yxsinyuux有 = xuxyyu(sin ) ()ss()uxco ucox【点评】求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。 2.求 y=(axbsin2x)3对 x 的导数. 解：y=3(axbsin2x)2(axbsin2x) =3(axbsin2x)a(bsin2x) 2 coscos3sinsin3332cos33h xfxfxxxx 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 =3(axbsin2x)ab2sinx(sinx) =3(a
9、xbsin2x)ab2sinxcosx =3(axbsin2x)(absin2x)3.函数的导数. 4)31 (1 xy解：4)31 (1 xy4)31 (x设，则4 uyxu31xuxuyyxuxu)31 ()(4)3(45u55)31 (1212xu5)31 (12 x4 4.函数在点处的切线与 的距离为，求 的方程。xeyx3cos2) 1 , 0(l5l解：)3(cos3cos)(22xexeyxxxxexxxe22)3sin)(3(3cos2xexexx3sin33cos222所以函数在点处的切线的斜率为xeyx3cos2) 1 , 0(2k所以易求出该切线方程为： 设 的方程为：
10、， 12 xylmxy 2则，解得或551md4m6m所以 的方程为：或。l42 xy62 xy七、课后练习七、课后练习1下列函数不是复合函数的是 ( A )Ayx3 1 Bycos(x ) Cy Dy(2x3)41x41ln x2. 函数的导数是（ D ）4)1cos(2xyA. B. )1sin(22xx)1sin(2xC. D. )1cos(22x)1sin(22xx3.下列函数中，导数不等于sin2x 的是( D)21A.2cos2x B.2+sin2x C. sin2x D.xcos2x41 21 21 214.求下列函数的导数：高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来
11、稿，稿酬丰厚。 (1)y(12x2)8； (2)y；11x2(3)ysin 2xcos 2x； (4)ycos x2. (5) y sin4x cos 4x解 (1)设 yu8，u12x2，y(u8)(12x2)8u74x8(12x2)74x32x(12x2)7. (2)设 yu ，u1x2，则 y(u )(1x2)( u )(2x)x(1x2) .1212123232(3)y(sin 2xcos 2x)(sin 2x)(cos 2x)2cos 2x2sin 2x2sin (2x )24(4)设 ycos u，ux2，则 y(cos u)(x2)(sin u)2x(sin x2)2x2xsin
12、 x2.(5)y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x) 4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x5.求 y=(3x+1)2的导数.52151 xx分析: y 可以看成两个函数 u、v 的乘积，而 u、v 都是复合函数.解：y=(3x+1)2+(3x+1)2() 52151 xx1512 xx51=2(3x+1) (3x+1)+(3x+1)252151 xx)151()151(512 542 xx x
13、x=2(3x+1)3+(3x+1)252151 xx22 542) 15(5) 1() 15(2)151(51 xxxx xx=6(3x+1) + (3x+1)252151 xx51225454 2) 15(525) 15() 1( xxxxx=6(3x+1) 5422252) 15() 1() 15(5)525() 13( 151xxxxxx xx6有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离 s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数为 ss(t)5.求函数在 t s 时的导数，并解释它的实际意义259t2715解 函数s5可以看作函数s5和x259t2的复合函数，其中x是中间变量259t2x由导数公式表可得sxx ，1 21 2xt18t.故由复合函数求导法则得stsxxt(x )(18t)，1 21 29t259t2高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来
