江苏省高中数学学案：28《对数函数性质的运用》（苏教版必修1）

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1、第第 2828 课时课时对数函数性质的运用对数函数性质的运用【学习目标】1能根据对数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题；2能运用对数函数的概念和性质解决有关实际问题【课前导学】1.对数函数有哪些性质？（完成下表）xyalog0,1aa对数函数的图象与性质a10a1图象xyalog)1(a（0a1）xyalog（1）定义域为；），（0 （2）值域为 R；（3）图象过点（1，0）；性质（4）在是单调增函数），（0在是单调减函数），（02求下列函数的定义域值域： 41212xy)52(log2 2xxy )54(log231xxy)(log2xxya) 10( a解：要使函数有

2、意义，必须有：即：，041212x11212xx，，从而，11x012x1122x ，， .2124112x 41 412012x 210 y定义域为-1,1，值域为21, 0对一切实数都恒成立，44) 1(5222xxx函数定义域为 R，从而，即函数值域为24log)52(log22 2 xx), 2 要使函数有意义，必须有：，5105405422xxxxx由，在此区间内，51x9)54(max2xx 95402xx从而即：值域为，29log)54(log31231xx2y定义域为-1,5，值域为), 2要使函数有意义，必须有： )2(0)(log) 1 (022xxxxa由

3、：，01x由：时则须，10 a12xxRx综合得 01x当时，01x41)(max2xx4102xx，，41log)(log2 aaxx41logay 定义域为(-1,0)，值域为)41log，a【课堂活动】一建构数学：一建构数学：1.函数 y=log的单调增区间是，单调减区间是 )3)(1 (2xx1,11,3（若将底数改为时，分别指出其单调区间）.212. 函数 f(x)=log-ax+3a)在2，+上是单调减函数，则 a 的取值范围是 .221(x解：由题意可知：，可得.22 40aa 44a 【总结】复合函数单调性法则“同增异减” ，此类问题要注意优先考虑函数的定义域.

4、二应用数学二应用数学：例 1 （1）设 loga1，则实数 a 的取值范围是；2 3（2）三个数 60.7，0.76，log0.76 的大小顺序是 .解：（1）由 loga1logaa 得2 3(1)当 0a1 时，由 ylogax 是减函数，得：0a ；2 3(2)当 a1 时，由 ylogax 是增函数，得：a ，a1；2 3综合（1）(2)得：0a 或 a1.2 3（2）由于 60.71，00.761，log0.760 log0.760.7660.7. 例 2 设 0x1，a0 且 a1，试比较|loga(1x)|与|loga(1+x)|的大小. 解法一：作差法|loga(1x)|lo

5、ga(1+x)| | |lg（1x）lgalg（1 + x）lga(|lg(1x)|lg(1+x)|)，1 |lga|0x1，01x11+x，上式（lg(1x)+lg(1+x)lg(1x2) ，1 |lga|1 |lga|由 0x1，得 lg(1x2)0，lg(1x2)0，1 |lga|loga(1x)|loga(1+x)| . 解法二：作商法|log(1x)(1+x)|，lg(1 +x) lg(1x)0x1， 01x1+x，|log(1x)(1+x)|log(1x)(1+x)log(1x)，1 1x由 0x1， 1+x1，01x21，0(1x)(1+x)1 ， 1x0，1 1x0log(1

8、0 满足题意，a1 不合题意.所以 a 的取值范围是：（，1（，+）.5 3例 4 已知 f(x)1logx3，g(x)2logx2，比较 f(x)与 g(x)的大小. 解：易知 f(x)g(x)的定义域均是：（0，1）（1，+），f(x)g(x)1logx32logx2logx( x) .3 4当 x1 时，若 x1，则 x ，这时 f(x)g(x)；3 44 3若 x1，则 1x ，这时 f(x)g(x) .3 44 3当 0x1 时，0 x1，logxx0，这时 f(x)g(x) .3 43 4故由（1）（2）可知：当 x(0，1)（，+）时，f(x)g(x)；4 3当 x（1，

9、）时，f(x)g(x) .4 3例 5 讨论函数 y=loga(ax1)的单调性，其中 a0，且 a1解：由对数函数性质，知 ax10，即 ax1，于是，当 0a1 时，函数的定义域为(，0)，当 a1 时，定义域为(0，)当 0a1 时，uax1 在(，0)上是减函数，而 y=logau 也是减函数，y=loga(ax1)在(，0)上是增函数当 a1 时，uax1 在(0，)上是增函数，而 y=logau 也是增函数，yloga(ax1)在(0，)上是增函数综上所述，函数 y=loga(ax1)在其定义域上是增函数例 6 解方程：2(9x15)4（3x12） .41log21log解：原方程

10、可化为(9x15)4（3x12），21log21log9x154(3x12)，即 9x143x1+30， (3x11)(3x13)0 ， 3x11 或 3x13， x1 或 x2，经检验 x1 是增根， x2 是原方程的根.例 7 解方程 log2（2-x1）(2-x+12)2.21log解：原方程可化为： log2（2-x1）(1)log22（2-x1）2，即：log2(2-x1)log2(2-x1)12，令 tlog2(2-x1)，则 t2t20，解之得 t2 或 t1，log2(2-x1)2 或 log2(2-x1)1，解之得：xlog2或 xlog23.5 4三理解数学三理解

11、数学：1比较0.7 与0.8 两值大小2log31log解：考查函数 y=x，2log21，函数 y=x 在（0，+）上是增函数，2log又 0.71，0.71=0；2log2log再考查函数 y=x，01，31log31函数 y=x 在（0，+）上是减函数，31log又 10.8，0.81=0，31log31log0.700.8，0.70.82log31log2log31log2已知下列不等式，比较正数 mn 的大小：（1）mn (2) mn 3log3log3 . 0log3 . 0log(3) mn(0a1) (4) mn(a1) alogalogalogalog解：（1）考查函数 y=

12、x，3log31，函数 y=x 在（0，+）是增函数，3logmn，mn；3log3log(2)考查函数 y=x，3 . 0log00.31，函数 y=x 在（0，+）上是减函数，3 . 0logmn，mn 3 . 0log3 . 0log(3)考查函数 y=x，0a1，alog函数 y=x 在（0，+）上是减函数，alogmn，mnalogalog(4)考查函数 y=x，a1，alog函数 y=x 在（0，+）上是增函数，alogmn，mnalogalog3已知函数 f(x)= ,则 ff()的值是 2log,0 3 ,0xx x x 1 41 94y=在区间(-, )上是增函数，求实数 a

13、的取值范围.2 1 2log ()xaxa2答案：a 的取值范围是,.2 22( 21)【课后提升】1判断函数 f（x）=ln（21xx）的奇偶性解：12xx 恒成立，故（x）的定义域为（，+），又f（x）=ln（21x+x）=ln xx211=ln 2222)1(1xxxx=ln（21xx）=f（x），f（x）为奇函数.2（1）证明函数 f（x）=log2（x2+1）在（0，+）上是增函数；（2）问：函数 f（x）=log2（x2+1）在（，0）上是减函数还是增函数？【思路分析】此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.（1）证明：任取 x1x2（0，+），且 x1x2，则 f（x1）f（x2）=log2（x12+1）log2（x22+1），0x1x2，x12+1x22+1.又y=log2x 在（0，+）上是增函数，log2（x12+1）log2（x22+1），即 f（x1）f（x2）.函数 f（x）=log2（x2+1）在（0，+）上是增函数

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