《江苏省苏州市第五中学高中数学教案 苏教版必修一 第二章《基本初等函数》2.3 幂函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省苏州市第五中学高中数学教案 苏教版必修一 第二章《基本初等函数》2.3 幂函数（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.42.4 幂函数幂函数 一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议幂函数的概念了解通过实例，了解幂函数的概念，知道幂函数也是一类 函数模型.幂函数的图象与 性质了解通过几个常见的幂函数的图象，观察、总结幂函数的 变化情况和性质.二、 预习指导1. 预习目标(1)了解幂函数的概念，会画出幂函数 的图象，根据上21 32,1,xyxyxyxyxy述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质. (2)了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式 值的大小. (3)进一步体会数形结合的思想.2. 预习提纲 (1)阅读课本 P72,了解幂函数的概念，区别幂函数与指数
2、函数.(2)结合课本 P72 例 1，在同一坐标系中作出函数的图象.21 32,1,xyxyxyxyxy观察上述图象填写下表：函数2xy 3xy xy121 xy 定义域值 域奇偶性单调性定 点(3)结合(2)中图象与表格，归纳幂函数的一般性质.xy 3. 典型例题 (1)幂函数的概念xyO性质xy 例例 1 1 已知为何值时，是幂函数？221( )(2 ),mmf xmm xm( )f x分析分析：根据幂函数的概念，建立关于 m 的方程求解解解：由题得：，解得：221mm12.m 点评点评：形如“(为常数)”的函数叫幂函数，这是一个形似概念，的系数是 1.yxx例例 2 若幂函数的图象经过点
3、，求的值.( )yf x19,3(25)f分析分析：先用待定系数法求出幂函数的解析式，再求的值.(25)f解解：设，因为的图象经过点，所以，( )f xx( )f x19,3193即，.12331 2 1 2( )f xx1 21(25)255f点评点评：注意中，的求法.193(2)幂函数的图象与性质 例例 2 2 判断幂函数是否具有下列性质： (1) 都过(0，0)点； (2) 都过(1，1)点； (3) 不是奇函数就是偶函数； (4) 至少在(0，+)上有定义； (5) 不可能是 R 上的减函数；(6) (0，+)是幂函数值域的子集.()yxQ分析分析：画出幂函数的图象，观察图象，逐一判断
4、解解：图略 幂函数具有性质 性质的反例为；性质的反例为；性质的反例为.1yx1 2yx0(0)yxx 点评点评：要熟记幂函数在第一象限的图象与性质，其它象限根据奇偶性来定.例例 3 3 画出的图形，并讨论的定义域、值域、奇偶性、单调性.2 3yx2 3yx分析分析：根据作出的的图形“看图说话”.2 3yx解解：由题得：的定义域为 R；值域为；2 3yx0,)偶函数；在上单调递增，在上单调递减.0,)(,0点评点评：研究幂函数的性质要充分依靠幂函数的图象.oyxoyx例例 4 4 已知幂函数的图象与坐标轴不相交，且关于 y 轴对称，求 m 的值.223*()mmyxmN分析分析：结合幂函数图象建
5、立 m 的方程，但注意的图象也符合题意0(0)yxx解解：由题得：，由解得：，22230 23mm mm 为偶数13m 又，*mN1,2,3mmm或或分别代入检验得：1,3.mm或点评点评：容易遗漏的情形.0例例 5 比较下列各组数的大小(1)； (2)；1 ,7 . 1 ,5 . 131 31 34 32 32 1 . 1 ,)710( ,)22(3)； (4).53 52 32 )8 . 1( ,9 . 3 ,8 . 35 . 14 . 15 ,3分析分析：(1)考察幂函数；(2)考察幂函数；(3)(4)都可插入中间量.1 3yx2 3yx解解：(1)，且在 R 上单调递增，.31 111
6、5 . 17 . 131 xy 31 31 31 15 . 17 . 1(2)，32 34 32 32 32 32 21. 11 . 1 ,)107()710( ,)22()22(在上单调递减，且，32 xy), 0( 21. 122 107，即.32 32 32 21. 1)22()107(224 333102()()1.172 (3)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0)8 . 1( , 19 . 3 , , 18 . 3053 52 32 53 32 52 )8 . 1(8 . 39 . 3(4)它们的底和指数都不同，而且都大于 1，我们插入一个中间数，利用幂函数和5 . 13指数函数
7、的单调性得5 . 15 . 14 . 1533 点评点评：比较幂形式的两个数的大小，一般思路是：(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性； (2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数， 则需找一个恰当的数作为桥梁来比较大小. 4. 自我检测 (1)下列函数中是幂函数的有_；+1；23xy 2xy xy1xy132 xy xy2(2)已知幂函数:； ；3xy 21 xy 1 xy32 xy 其中定义域是 R 的函数有_；是偶函数的有_(3)幂函数的图象过点(4，2)，则_)(xfy )8(f(4)幂函数在上的最大值是_1 xy(5)已知函数；其中定义域
8、是 R 且在 R 上单调递增xy 2xy 2 xyxy2的有_(6)函数是幂函数，且函数为偶函数，则_22)33()(mxmmxf)(xfm三、课后巩固练习A 组1在以下四个函数：中，定义域为 R 的函数为23 2334,yxyxyxyx与_2(1)函数的定义域为_1 22(2 )yxx(2)的定义域为_ 23 24( )(log1)f xx3在以下四个函数：中，值域为的函数共_21 2332,yxyxyxyx与0,)个4 函数1 3yx的图象是 ( ) 5已知函数，若，则实数的取值范围是_ 1 2( )f xx( )1f b b6.(1)设，则使函数的定义域为 R 且为奇函数的所有的值为1
9、1,1,32 yx_(2)已知幂函数的图象与轴、轴都无公共点，且关于轴对称，223( )()mmf xxmZxyy则=_ m7在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率(单位：)vscm /3与管道半径(单位：)的四次方成正比，若气体在半径为 3的管道中，流量速率为 400rcmcm，(1)求该气体通过半径为的的管道时，流量速率的表达式；(2)若气体通过的管道scm /3rv半径为 5，计算气体的流量速率(精确到 1)cmscm /3B 组8给出下列四个命题： 幂函数的图象都通过(0，0)，(1，1)两点； 当” 、 “=”或“”) (2011)f (2012)f 11求
10、函数的定义域、值域，并讨论其单调性. 2 3(2)yx12比较大小：(1) 若，比较的大小；0a 12 , ( ) , 0.22aaa(2) 若，比较的大小10a 1 333 ,aaa13的简图，并写出单调区间xy31C 组14已知，求 a 的取值范围11 55(3)(12 )aa知识点 题号注意点幂函数的概念、 图象与性质注意幂函数与指数函数的区别，幂函数 随变化时图象的变化，熟记幂函数相 关性质，灵活运用数形结合解题.实际问题注意数学建模的过程综合问题注意数形结合和分类讨论11Oy1xy 2xy 4xy 3xy x四、 学习心得五、 拓展视野 并非危言耸听 公元 1972 年尼克松再次当选
11、为美国总统后，建议美苏两国联合攻克癌症，美方赠送了 23 种致癌病毒，苏方回赠了六名癌症患者的癌细胞标本.翌年一月，美国癌症研究中心将赠 送的癌细胞标本分送给几位科学家研究，其中一份送到了加州细胞培养实验所所长尼尔森芮 斯博士手上.尼尔森芮斯经过几番周折，终于弄清楚了苏方赠送的六个标本全是二十多年前 死去的美国黑人拉克丝的细胞. 拉克丝于 1951 年 10 月死于一种罕见的子宫颈癌，这种特殊的癌细胞具有极强的繁殖力 和生命力，拉克丝从被发现第一个病灶到死亡，整个过程不足 8 个月.科学家们提取这种细胞加以培养，发现它竟以(为原始数量，为天数)这样的指数曲线疯狂生长，xAy200Ax每 24
12、小时便增加一倍.就这样这种新发现的癌细胞被命名为“海拉” ，并被严格控制于实验室. “海拉”在不足一个月的时间里便能增加数千万倍，这使过去一直认为的健康细胞“自发” 转变为癌细胞的神秘现象得到了新的解释，原来所谓“自发”的转变，只不过是癌细胞消灭 健康细胞并占领了整个培养物！事隔二十多年， “海拉”不仅没有死亡，而且还出现在了莫 斯科，于是尼尔森芮斯博士撰文向全世界敲响了警钟：“如果听任海拉无抑制生长，它 们很可能已经占领整个世界！”这是危言耸听吗？不！这是科学的结论.如果任其生长，一年后其数量为，这个数字有多大？我们利用对数来计算一下：365 02 Ay365 02lglglgAy2lg36
13、5lg0A3010. 0365lg0A，从而865.109)lg(0Ay0109 0865.10910328. 710AAy这么多的细胞不必说占领地球，就是占领整个宇宙也不算过分！好在人类已经学会了对 生物的有效控制，才制止了这种有害生物指数般的生长和繁殖.具有讽刺意味的是：人类虽然 很早就注意控制生物，却迟迟才注意控制自己，世界人口依然按一条可怕的指数曲线在增长 着！公元初地球上的人口不足 2 亿 5 千万，公元 1650 年世界人口才达 5 亿，我们可以计算 这段时间内世界人口的增长率 P：，165088)1 (105 . 2105P1650)1 (2P，)1lg(16502lgP0001
14、824. 016503010. 0)1lg( P%042. 0,00042. 11PP这就是说公元后的 1650 年里，世界人口平均每年只增长万分之四多一些.然而，从公元 1650 年到公元 1800 年仅一个半世纪，世界人口又翻了一番，可算出这段时间增长率为 ，比前面高了 10 倍！而从 1800 年到 1930 年，世界人口再次翻番，达 20 亿.1960 年%46. 0达 30 亿，1975 年达 40 亿，1987 年达 50 亿，-世界人口沿着一条越来越陡峭的曲线直指 上升！科学家告诉我们，我们赖以生存的地球最多只能养活(80100)亿人口，但是按目前人 口的增长速度，2000 年已达 65 亿，2025 年将突破 100 亿！再这样下去，地球将无法承受， 人类将最终毁灭自己！这是危言耸听吗？不！这是科学向人类发出的警告！
