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1、一、微分的定义,二、微分的几何意义,三、基本微分公式与微分运算法则,2.7 函数的微分,四、微分在近似计算中的应用,一、微分的定义,引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0Dx 考查此薄片的面积 A 的改变情况.,因为 Ax2 所以金属片面积的改变量为DA(x0Dx)2(x0)22x0Dx(Dx)2,当Dx0时 (Dx)2o(Dx ) DA的主要部分是Dx的线性函数2x0Dx 2x0Dx是DA的近似值,设函数yf(x)在某区间内有定义 x0及x0Dx在这区间内 如果函数的增量 Dyf(x0Dx)f(x0) 可表示为 DyADxo(Dx) 其中A是不依赖于Dx的常数 o(Dx
2、)是比Dx高阶的无穷小 那么称函数yf(x)在点x0是可微的 而ADx叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分 记作dy 即 dyADx,微分的定义,函数f(x)在点x0可微 函数f(x)在点x0可导函数在点x0的微分一定是 dyf (x0)Dx,可微与可导的关系,yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dy=ADx,这是因为 一方面,另一方面,其中a0(当Dx0) 且A=f(x0)是常数 aDx o(Dx),函数yf(x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作dy 或 df(x) 即 dyf (x)Dx,例如 dcos x(cos x)Dx sin x Dx,dex(e
3、x)DxexDx,函数f(x)在点x0可微 函数f(x)在点x0可导函数在点x0的微分一定是 dyf (x0)Dx,yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dy=ADx,可微与可导的关系,例1 求函数yx2在x1和x3处的微分,dy(x2)|x1Dx2Dx 函数yx2在x3处的微分为dy(x2)|x3Dx6Dx,例2 求函数 yx3当x2 Dx 002时的微分,yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dy=ADx,解,函数yx2在x1处的微分为,解,先求函数在任意点x 的微分,dy(x3)Dx3x2Dx 再求函数当x2 Dx002时的微分,dy|x=2, Dx=0.02,=3220.0
4、2=0.24,=3x2| x=2, Dx=0.02,因为当y=x时 dy=dx=(x)Dx=Dx 所以通常把自变量 x 的增量Dx称为自变量的微分 记作dx 即dxDx,因此 函数yf(x)的微分又可记作dyf (x)dx,自变量的微分,结论在f (x0)0的条件下 以微分dyf (x0)Dx近似代替增量Dyf(x0Dx)f(x0)时 其误差为o(dy) 因此 当|Dx|很小时 有近似等式Dydy,当f (x0)0时 有,根据等价无穷小的性质 Dydyo(dy),增量与微分的关系,二、微分的几何意义,当|Dx|很小时 |Dydy|比|Dx|小得多 因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代替
5、曲线段,Dy是曲线上点的纵坐标的增量;,dy是过点(x0 f(x0)的切线上点的纵坐标的增量.,当x从x0变到x0+Dx时,三、基本微分公式与微分运算法则,d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx,(xm)m xm1 (sin x)cos x (cos x)sin x (tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec
6、x tan x (csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex,微分公式:,导数公式:,1.基本初等函数的微分公式,微分公式:,导数公式:,2.函数和、差、积、商的微分法则,公式d(uv)vduudv 的证明 因为 d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx 而 udxdu vdxdv 所以 d(uv)vduudv,(uv)uv (Cu)Cu (uv)uvuv,d(uv)dudv d(Cu)Cdu d(uv)vduudv,求导法则,微分法则,设yf(u)及uj(x)可微 则复合函数yfj(x)的微分为 dyyxdxf (u)j(x)dx 因为j(x)dxdu 所
7、以 复合函数yfj(x)的微分公式也可以写成 dyf (u)du 或 dyyudu,3.复合函数的微分法则,由此可见 无论u是自变量还是另一个变量的可微函数 微分形式 dyf (u)du保持不变 这一性质称为微分形式不变性,在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量,例3 ysin(2x1) 求dy,2cos(2x1)dx,cos(2x1)2dx,cos(2x1)d(2x1),dyd(sin u),cos udu,若yf(u) uj(x) 则dyf (u)du,解,把2x1看成中间变量u 则,例4,解,例5 ye13xcos x 求dy,e13x(3cos xsin x)dx,(cos x)e1
8、3x(3dx)e13x(sin xdx),dyd(e13xcos x),cos xd(e13x)e13xd(cos x),若yf(u) uj(x) 则dyf (u)du,应用积的微分法则 得,解,例6 在括号中填入适当的函数 使等式成立 (1) d( )xdx (2) d( )cos w t dt,(2)因为d(sin w t)w cos w tdt 所以,(1)因为d(x2)2xdx 所以,解,四、微分在近似计算中的应用,1.函数的近似计算,当函数yf(x)在点x0处的导数f (x)0 且|Dx|很小时 我们有Dydyf (x0)Dx f(x0Dx)f(x0)dyf (x0)Dx f(x0D
9、x)f(x0)f (x0)Dx 若令xx0Dx 即Dxxx0 那么又有f(x)f(x0)f (x0)(xx0) 特别当x00时 有 f(x)f(0)f (0)x,例7 有一批半径为 1cm 的球 为了提高球面的光洁度 要镀上一层铜 厚度定为001cm 估计一下每只球需用铜多少 g (铜的密度是89g/cm3)?,求函数增量的近似公式 f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx,镀层的体积为DVV(R0DR)V(R0)V (R0)DR4pR02DR431412001013(cm3) 于是镀每只球需用的铜约为01389116(g),解,已知球体体积为 R01cm DR001cm,求函数值的近似公式
10、f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx,例8 利用微分计算sin 3030的近似值, sin x0 cos x0 Dx,即 sin 303005076,sin 3030,sin(x0Dx),解,(2)sin xx (x用弧度作单位来表达) (3)tan xx(x用弧度作单位来表达) (4)ex1x (5)ln(1x)x,常用的近似公式(假定|x|是较小的数值),求函数在x0附近的值的近似公式 f(x)f(0)f (0)x,例9,解,绝对误差与相对误差,如果某个量的精确值为A 其近似值为a 那么|Aa|叫做a的绝对误差,2.误差估计,间接测量误差 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响 测得的数据往往带有误差 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差 我们把它叫做间接测量误差,如果某个量的精确值是A 测得它的近似值是a 又知道它的误差不超过dA: |Aa|dA 则dA叫做测量A的绝对误差限,绝对误差限与相对误差限,若x是直接测量值 |x|dx 而yf(x) 那么由DydyyDx 有 |Dy|dy|y|Dx|y|dx 所以测量y的绝对误差为dy|y|d x ,提问: 测量y的相对误差是什么？,已知D=6003 dD 005 所以,解,(mm2),
